Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Mather [11. Анализ взаимосвязи между отображениями и многочленами можно
также найти в работе Joly [5 . Удобные методы для вычисления
полиномиального представления данного отображения можно найти в работе
Bernstein, Debelv [1 1, а также в более поздних работах Benjauthrit, Reed
fl], [2], Pradhan [11, Takahashi 111, Thayse [13, Yin [lj. В статьях
Varnum [1 } и Lehti [1 ] для этих же целей предложены матричные методы.
Вычислительная сложность подобных, интерполяционных процедур, а также
сложность вычисления значений многочленов была исследована в работе
Strassen 31 3, [2 3; частный случай элементарных симметрических
многочленов изучался Михайлю-ком [1], [21. Выражения для
характеристических функций подмножеств нз F? приводятся в работах Cazacu
[2], [3 3 (см. также Rosenberg [31). В статье Pizzarello [1J приводится
критерий того, что многочлен от нескольких переменных над полем является
нулевым многочленом над некоторым конечным расширением поля ¦
Отображения, определенные на подмножествах множества fp, исследовались в
работах Bernstein [2 3, Bernstein, Debely [lj. Отображения нз (Z/(m))n в
Z/(m), а также их представления многочленами изучались в работах
Bernstein [11, Bernstein, Debely [13, Carlitz [973, Kempner [23,
Rosenberg [2].
Полиномиальные отображения подобного типа, являющиеся нулем по некоторому
модулю, были исследованы в работах Kempner [2 3, Lausch, Nobauer [I, ch.
3], Litzinger [13, Nobauer [3].
В статье Nobauer [53 показано, что все коммутативные кольца R с единицей,
для которых любое отображение из Rn в R может быть представлено
многочленом из R [х], являются конечными нолями. Это обобщает результат
из работы Redei, Szeie [I], полученный для п~ 1 (см. также Ceccherini
[1]). Броули и Карлиц (Brawley, Carlitz [21), пользуясь обобщением
понятия многочлена, показали, что если R ненулевое кольцо, а п^2, ТО
любое отображение из Rn в R можно представить одним из таких
"многочленов" от п переменных над кольцом R тогда и только тогда, когда R
является кольцом матриц над некоторым конечным нолем. Возможность
представления симметричных функций от счетного числа переменных
многочленами над полем от счетного числа переменных изучалась в статье
Metropolis, Nicoletti, Rota (1).
486
Гл. 7. Перестановочные многочлены
Перестановочные многочлены от нескольких переменных и ортогональные
системы впервые в явном виде появились в работах Карлица (Carlitz [47],
[591), Изучение этих понятий было затем продолжено в статье Nobauer [61.
Ортогональные системы с п --- 2 и простым q изучались Курбатовым н
Старковым [11. Ортогональные системы с т = п называются также
перестановочными полиномиальными векторами, так как они индуцируют
перестановки элементов множества F?. Теорема 7.-36 принадлежит Карлнцу
(Carlitz [59 ]); доказательство, приводимое нами, следует работе
Niederreiter 12]. Теорема 7.37 также была получена Карлицом (Carlitz
[471), а следствие 7.39 принадлежит Нидеррай-теру (Niederreiter [2]),
Другие критерии того, что система ортогональна, можно пайти в упр. 7.47
или в работе Niederreiter 12); критерии для перестановочных многочленов
содержатся в работе Mullen [21. В случае конечных простых полей можно
привести специальный критерий перестановочности многочленов (см. упр.
7.32 и работу Niederreiter [3]). Теорема 7.41 является улучшением одного
результата Лндла и Нндеррайтера (Lidl, Niederreiter (II). Первая часть
теоремы 7.42 получена в работе Nobauer [61; вторая часть для случая т -
1, п - 2 была доказана в работе Lidi [11, а для общего случая - в работе
Lidl, Niederreiter [[]. Последняя содержит также доказательство теоремы
7.43. Теорема 7.44 доказана Нидеррантером (Niederreiter [21); следствие
7.45 принадлежит Карлицу (Carlitz [47]}, а в случае п~2 н простого q оно
было также получено Курбатовым н Старковым [11. Эти результаты позволяют
перечислить все ортогональные системы, образованные многочленами иад
полем имеющими по каждой нз перемен ных степень, меньшую чем q.
Это было сделано в статьях Carlitz [59], Niederreiter [21. В работе Fried
[4] теорема из статьи McCIuer [11 перенесена на перестановочные
полиномиальные векторы, причем показано, что мы получаем перестановочный
полиномиальный вектор в случае, еслн система многочленов является в
некотором смысле "исключительной". Формулы для выражения перестановок
элементов множества fj через перестановочные полиномиальные векторы
приводятся в статье Lidl 121, Перестановочные многочлены и
перестановочные полиномиальные векторы над кольцами Z/(m) изучались в
работах Lidl [31, Nobauer [31, [61; случаи колец более общего вида
рассматривался в книге Lausch, Nobauer fl, ch. 41.
Аналогичные вопросы для рациональных функций от нескольких переменных
рассматривались в работе Lidl 13].
Многочлены Диксона (нли многочлены Чебышева) от нескольких переменных
были введены в работе Lidl, Wells [1]; гам же была доказана теорема 7.46.
Явные формулы, а также производящие функции н рекуррентные формулы для
