Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Uchiyama [5] и Cohen S, D. [81. Указанный выше результат Берча и
Свиннертона-Дайера был распространен Коэном (Cohen S. D. [51) на случай
рациональных функций. Если / ? tq[x] и deg ([} - п > С то из того, что
уравнение f (я) = d 6 Fq может иметь в Fq не более п решений, легко
вытекает, что V ([) > l(q - !)/nJ + 1. В статье Carlitz, Lewis, Mills,
Straus И ] показано, что если V (/) - [_(?- ОДП + 1 > 3, а п строго
меньше характеристики поля Fq, то q ~ 1 (mod п), и / имеет вид [ (я) - а
(я - Ь)п 4~ с, где а, ф, с ? Fq. Дальнейшие обобщения этого результата
можно найти в работах Mills 11], Mordell [16] н Williams К- S. [51.
Число значений многочлена f (я) ? ГРШ, которые встречаются в множествах
вида {1, 2, ..., h}, 1 < к < р, изучалось в статье McCann, Williams [1] в
случае, когда f (х)- кубический многочлен, и в статье Williams К- S. [51
в случае, когда многочлен [/ (х) -/ (р)]/(я - у) не имеет нелинейных
абсолютно неприводимых делителей. Коэн ^Cohen S. D. [7]) оценил среднее
число значений многочлена /? 1} ч U1, содержащихся в тех или иных
подмножествах поля Fq. Полученные им результаты усиливают и обобщают
более ранний результат Вильямса (Williams К. S. [15]). В случае когда / ?
Fp \х] - кубический многочлен, который не является перестановочным
многочленом поля Fp, Мор-делл в работе Mordell [191 получил оценку для
наименьшего неотрицательного вычета k по модулю р, не встречающегося в
качестве значений многочлена /, а Бомбьерн и Дэвенпорт (Bombieri,
Davenport [1]) нашли аналогичную оценку для общего случая. В работе
Tietavainen [5] указанная общая оценка улучшается: а именно показано, что
k <Д С (п) р1/2, где константа С (п) зависит только от п = deg (/). Для
случая п . - 4 результат Бомбьерн и Дэвенпорта был также получен Хадсоном
(Hudson М. П 1)
и Вильямсом (Williams К. S. [2]). Морделл в работе Mordell [191
также показал, что если / - многочлен положительной степени над простым
полем Fp, то минимальный неотрицательный вычет I по модулю р,
встречающийся среди множества значений многочлена [, удовлетворяет
неравенству I < npl/2 log р. Аналогичный результат для случая
произвольного поля F? был получен в работе Cavior [4], а затем улучшен в
статье Tietavainen [4]. Другие результаты, касающиеся распределения
элементов, входящих в множество значений многочлена f, можно найти в
работах Ма-?нг l. Е. [11, McCann, Williams [21, Tietavainen [71, Willi-
arns K. S. [61, 181 и Перельмутер 18].
Связь между двумя многочленами над полем Fp, имеющими одинаковую степень
н совпадающие множества значений, исследовалась в работе Williams К. S.
ПО] для случая квадратичных
478
Гл, 7. Перестановочные многочлены
многочленов и в работе McCann, Williams [31 дли случая кубических
многочленов. Связь между многочленами и рациональными функциями, для
которых заданы соотношения между множествами их значений, исследовалась в
работах Cohen S, D. [61, [91 и Fried [11, [51. Диксон в работе Dickson
[231 положил начало изучению таких многочленов иад полем Tq нечетной
характеристики, для которых множество принимаемых ими значений состоит из
одних квадратов, отличных от нуля, а Карлиц (Carlitz [29]) показал, что
если такие многочлены f удовлетворяют условию deg (/) - п и q > (п - I)2,
то f ^ для некоторого g (j Fg [х I. Дальнейшие исследования в этом
направлении, а также некоторые приложения можно найти в работах Carlitz
[77], [89], Redei [21, Birch, Lewis [21, Результат, аналогичный
результату работы Carlitz [29] и касающийся многочленов над полем Fg*
значения которых являются отличными от нуля d-ми степенями при q ~ t (mod
d), был получен в работе Carlitz [38], В работе Ri-benboim [!] изучались
аналогичные многочлены над полями алгебраических функций с элементами
конечного поля в качестве констант. Редей в книге Redei [И, ch, lj описал
многочлены над полем fq со значениями из некоторого подпал я поля Fg. В
статье Tanner [21 рассматривались такие многочлены над простым полем
нечетной характеристики, что / (с) = ± 1 для всех
с ? [Fp.
§ 2* Теорему 7.8 можно найти, например, в монографии Диксона Dickson [7,
part I, ch. 51. Цикловая структура отображений, задаваемых одночленами,
изучалась в работе Ahmad [1]. Теорема 7.9 встречается в работе Mathieu
[1]. Другие критерии для того, чтобы линеаризованные многочлены являлись
перестановочными многочленами, приводятся в § 3 настоящей главы и в упр.
7.13 (см. также работу Carlitz [93]). В статье Payne [1] ставится задача
определить все такие 2-миогочлены L (х) над полем F5 характеристики 2,
что как L (х), так и L (х)/х являются перестановочными многочленами поля
Fg. Теорема 7.10 доказана Роджерсом (Rogers L. J. [1 ]) для случая
конечного простого ноля и Диксоном (Dickson [2]) для случая произвольного
конечного поля Другие результаты о перестановочных многочленах указанного
типа и родственных им многочленах можно найти в работах Ahmad [2],
Dickson [7, part I, ch, 51, Fillmore [1], Nobauer [8], Wells [1], [3],
