Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Привести пример, показывающий, что в случае, если q ре.'е > 1, это не
так*
7.3^ Пусть q km- Г 1. к, т б N. Показать, что многочлен xni^~{ является
перестановочным многочленом поля Го тогда и только тогда, когда ПОД (ш -Г
-f- 1, /г) = \
Упражнения
489
7.4. Доказать, что многочлен вида xpi - axp i над конечным полем Fg
характеристики р является перестановочным многочленом поля Fg тогда и
только
тогда, когда элемент а не является (р1 - р*)-й степенью никакого элемента
из Fg,
7.5. Пусть р характеристика поля Fg, г ^ IN, d - положительный делитель
числа рг - ! и а € Fg. Показать, что многочлен вида x(xd - a)^pr~^,d
является перестановочным многочленом поля Fg тогда и только тогда, когда
элемент а не является d-и степенью никакого элемента из Fg.
7.6. Пусть а ? Fg, q нечетно, г ? 1N н НОД (г, q - 1) (tm) 1. Доказать, что
многочлен вида хг - а)2 является перестановочным многочленом поля Fg
тогда и только тогда, когда а ф ±1.
7.7. Найти все перестановочные многочлены поля F? пнда хг(х3 - а)2, где г
? N, а ? FT.
7*8. Показать, что многочлен 5х5 + 5ах3 Д- а2х является перестановочным
многочленом поля Fg, если q = ±2 (mod 5), а а - произвольный элемент поля
Fg.
7.9. Показать, что многочлен Д~ ах ? Fg fx] является
перестановоч-
ным многочленом поля Fg нечетной характеристики тогда н только тогда,
когда а 2-1 (с + с"э), где с - некоторый элемент из Fg, с1 ф L
7.10. Найти наименьшее число М, такое, что для любого конечного поля Fg,
где ц нечетно и ц ^ М, найдется такой элемент а ? F*, что многочлен вида
х
[ ах является перестановочным многочленом поля Fg.
7.11. Пусть т > 1 - делитель числа q - I. Доказать, что
/
является перестановочным многочленом поля F<f тогда и только тогда, когда
(-ф 1 и
|(" Д с1) (а - ф ci~ t для всех 0^ t </ < tn,
где с - фиксированный первообразный корень т-и степени из единицы в поле
Fg.
7.12. Пусть q ~ ре, где р - нечетное простое число, а т ^ (q - 1)/2,
Доказать, что НОД ^р ^ ^ 1 тогда и только тогда, когда / = Ь0 Д- Ьгр Д-
. Д~ Ье_хре~', где 0 ^ bi < (р - 1).-'2, а 0 ^ i - 1,
7.13. Пусть
и -I
/ (*) ^ ? €i*Ql € Гд f*l*
?-0
• О
Показать, что / (х) является перестановочным многочленом поля Рднтогдаи
только тогда, когда
/и-i
1 1 I .
7Л4. Доказать, что если характеристика поля отлична от 2. то многочлен
Диксона gk (х, а) можно формально представить в виде
, . . х Д- Vx* - 4а \к , I х - VХ% - 4а
8Ь (х, а)
490
Гл, 7. Перестановочные многочлены
7.15. Показать что многочлены Диксона удовлетворяют следующим равеи-д
ствам:
Яг {х, а) ~ х, Яз (%> в) - ~ 2а,
8k+t(x> a)^xSk(x> tt) - agk^(xt а) для
к 2.
7.16. Показать,
'О ь
что многочлены Диксона удовлетворяют соотношению? ?к {ах, а2) = ahgh (х,
1).
7.17. Пользуясь обозначениями теоремы 5.46, показать, что суммы Кло-;,1
стермана удовлетворяют равенству
К (хм; а, *)
gs(-K, q),
•А< . .
¦к/,
t
,'М
где Яз (х, q) - многочлены Диксона над полем действительных чисел, л|
7.18. Доказать, что знакопеременная группа Aq порождается своими
подгруппами ALq и Qq (см, § 3 настоящей главы),
7.19. Пусть р - нечетное простое число. Доказать, что знакопеременная^
группа Ар порождается перестановками, соответствующими многочленам х -г
нтхр~", где пг - любой ненулевой элемент поля Fp, являющийся квадратом,
если р -=? 3 (mod 4), и любой элемент поля Fp, не являющийся квадратом,
есл#; р = f (mod 4). В противном случае эти перестановки порождают всю
снмме трнческую группу Sp.
7.20. Показать, что если р > 2, то любую транспозицию элементов поля F
можно единственным образом представить с помощью многочлена степени q -
7.21. Доказать следующие утверждения; (i) если q ~ 2 (mod 3), q >2# то
любой 3-цнкл на Fg можно единственным образом представить с помощью?
многочлена степени q 2; (ii) если q ~ \ (mod 3), то все 3-циклы на Fg
(кро 1
2q (q - 1)/3 штук) можно представить с помощью многочленов степени q-2Д.
7.22. Для конечного пат я Fy, q > 2, определим кваэиперестаноеочный многщ
член поля Ft* как многочлен, являющийся композицией конечного числа
много# членов над fq, которые нли являются линейными многочленами, нлн
равняются!
хя~2, Доказать, что кв аз и перестановочный многочлен над полем Fg
является! перестановочным многочленом расширения F^r тогда н только
тогда, когда?
НОД (2Г~ 1, ц 2)= 1,
7.23. Пусть f - квазкперестаковочный многочлен поля Fg, ц > 4, Доказать,?
что существует бесконечно много расширений F^r патя F , для которых / я
ляется перестановочным многочленом, и бесконечно много расширений того же
поля, для которых / не является перестановочным многочленом,
7.24. Показать, что квази перестановочный многочлен поля Fg, приведенный
по модулю xq ~~ х, не обязательно является квлзиперестановочным, Кроме f
того, показать, что различные квазнперестановочные многочлены после при
ведения по модулю Xя х могут совпадать.
7.25. Доказать, что группа G (1) является гомоморфным образом группы# G
(-1), где группы G (а) определены в теореме 7,23,
7.26. Под соответствием Г в поле Fg мы понимаем пару разбиений TSe# Аи Ак
