Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
нормированных линейных многочленов был изучен ранее в статье Wells [б ].
Другие результаты о многочленах, коммутирующих с данным многочленом,
можно найтн в работах Bertram [1], Boyce [1], Kautschitsch [2]. Класс
рациональных функций иад полем коммутирующих относительно операции
композиции, появляется в статье Redei [41.
Разложение многочленов на неразложимые многочлены (относительно операции
композиции) и исследование свойств такого разложения проводились в статье
Ritt [1] для случая многочленов над полем С. Обобщение на случай полей
характеристики 0 было сделано в работах Engstrom [31, Levi [1 ] (см.
также Fried, MacRae [1], Dorey, Whaples [1], Lausch, Nobauer 11, ch. 41).
Некоторые результаты для полей ненулевой характеристики содержатся также
в работе Fried, MacRae [1 ]. Случай алгебраически замкнутого поля
изучался в статьях Fried [31 и Клячко [1]. Здесь снова важную роль играют
многочлены Диксона. С этой тематикой также связаны работы Bremner, Morton
[1 ], Cramp ton, Whaples [11, Dorey, Whaples [1], Lausch, Nobauer 11, ch.
3], Nobauer [7]. Операция композиции многочленов по модулю хЧ - х была
использована в работах Carlitz [47], Cavior [2], Mullen 11 ], [3 ], [5]
при определении отношений эквивалентности для многочленов по модулю х9 -
х над полем Fq.
§ 4. Исключительные многочлены были введены Дэвенпортом и Льюисом в
работе Davenport, Lewis [2]. В этой же работе была выдвинута гипотеза о
взаимосвязи этих многочленов с перестановочными многочленами. В статье
MacCluer [1] доказано,
что если f ? [fg \х \ - исключительный многочлен и deg (/) < 2р, где р -
характеристика поля Fq, то / является перестановочным многочленом ноля
tq- Коэн в работе Cohen S. D. [5] показал,
4*
484 Гл" 7. Перестановочные многочлены
что этот результат остается справедливым и без ограничений на степень
многочлена /, а также доказал аналогичный результат для рациональных
функций над полем Fq. Ослабленный вариант теоремы 7.27 может быть получен
более элементарными методами;
в приводимом доказательстве теоремы 7.27 мы следуем работе Williams К- S.
[91. Лемма 7.26 была получена тем же автором в работе Williams К* S. [51.
Теорема 7.29 для случая поля fp, р простое, была доказана Дэвенпортом и
Льюисом (Davenport, Lewis [2]}. С небольшими изменениями этот же
результат содержится в работах Bomhieri, Davenport [11 и Tietavainen [51.
Вильямс (Williams К* S. (51) заменил условие, что f является
перестановочным многочленом поля условием V {f) ~ р + о 0(1). Теорема
7.29 в общем случае была доказана в работе Hayes [51, в этой же работе
была получена теорема 7.31. Более сильный вариант теоремы 7.29,
справедливый также и для рациональных функций над полем Fg, был получен в
работе Cohen S. D.
[51, Известной задачей в этой области является вопрос о том, остается ли
следствие 7.32 справедливым, еслн условие НОД (п, q) = 1 заменить
условием НОД (2, q) -¦¦¦ 1. Вели величина п является степенью числа 2, то
ответ, безусловно, положительный. Единственными другими случаями, для
которых опубликовано решение этой задачи, являются случаи п= 6 (Dickson
[2]) и п - 10 (Hayes [5]); обсуждение вопросов, связанных с этой задачей,
можно найти в работе Lidl [71.
В работе Fried [51 проведена классификация исключительных многочленов и
рациональных функций над конечными полями.
Вильямс (Williams К. S. [24]) выразил число абсолютно неприводимых
делителей многочлена I/ (х) - / (у) ]/(х - у) для достаточно большого q
через число пар (a, b) ? FJ, а ф Ь, для которых f (а) - f (h). Он же в
работе Williams КЗ S. 125] для случая, когда f является многочленом
Диксона, получил разложение многочлена [/ (х) - f {у)\!(х - у) над
алгебраическим замыканием поля Fg, откуда, в частности, можно вывести
условие, при котором многочлен Диксона является перестановочным
многочленом поля Fg* Дальнейшие замечания об исключительных многочленах
можно найти в работе Davenport, Lewis [2]. Вильямс (Williams К. S. [5])
назвал многочлен f экстремальным многочленом индекса к, если I/ (х) - f
(у) ]/(х - у) не имеет абсолютно неприводимых делителей, кроме к линейных
делителей, и показал, что V (/) - p/(k h 1) + О (1) для таких f ? Fr, U!
при достаточно большом р. Частичное обращение этого утверждения было
доказано ранее в работе Mordell [16]. Все эти результаты были улучшены и
обобщены Коэном (Cohen S. D, [51).
§ 5. Тог факт, что каждое отображение из Fg в Fg можно представить
многочленом от п переменных над полем F,., имеющим
Комментарии
485
по каждой из переменной степень, меньшую чем q, для случая простого q был
доказан Вебером (Weber [5, sec. 771). Единственность такого представления
(также для случая простого q) была доказана Гурвицом (Hurwitz 111). В
общем случае как представимость, так и единственность такого
представления (см. формулу
(7.20) и лемму 7.40) были установлены Диксоном (Dickson [24[).
Результаты, связанные с теоремой единственности, содержатся в работе
