Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть (xf - хи ..." Хц - х") - идеал в кольце ?я [хь ... ..." х" |,
состоящий из всех многочленов вида
р
Ь
1 (Xj, . . . , Xf;) (xf - Xj) - " ¦ ¦ ~Ь &П С^Н * ¦ 1" Л-") ('*''*
.г |, ХД Тогда лемму 7.2 можно обоб-
где ?lt ¦ - " ёп € 1га
щить следующим образом. j
7.40. Лемма, (i) Для любого ^ x*)t 1 имеющий
найдется единственный многочленi g € ч ь и tnaK0&t что для
по каждой переменной с^хеН^ е^тется равенство f (*, ^
любого наоора (й, • Lm 1гч ^
••(ш Еми^с 8*тХ> •••• ^мо !г!С1,..:.п"Ге r
- §(<-,, ..., с.) выполняется для - _ *")).
тогда и только то&да^ когда f у g 1 найдется един-
(iii) Для любого ^яогоялгна
' X Г "ийгеюцнй П0_ каждой с пшенный многочлен Я t" ч •- о *
нЛшегпворя/ощий соомно-переменной степень, меньшую чем q, -
шеншо / = g (mod (xf - Хь *n Xn * стедхет из
Доказательство, (i) Существование "нОГ^теаНточё"о 'показать.
'7.20). Для доказательства fинстве"Н? имеет "о каждой пере-
что если многочлен *••¦ п , €ф ^ 0 для всех
менной степень, меньшую чем q, и g i* •••¦ МНОгочленом.
наборов (сь тоЛ-^ и/Заметим, во-первых,
Доказательство проведем индукщ Пусть п > % и пРе^по'
что случай п - i следует из лемм" ^гех ^членов от * - I
лож им, что утверждение доказано для всех
466 Гл. 7. Перестановочные многочлены
*н
/
переменных. Если многочлен хп I является мн
гочленом указанного вида, то мы можем записать
g (Xj, . . . , Xjj.) = Hq < * ¦ л Xn) -f
~b h\ (x'2y . . ., xn) Xi -j- .. . [- hq~~\ (X2, . .. , xn)xf f
. ¦!
где каждый из многочленов hj имеет по каждой из переменим х2, ..., хп
степень, меньшую чем д. Пусть зафиксирован на*У
^ j
fa, с") ? . Из соотношения g (с, c2l .... сп) - О, кот;
рое должно выполняться для всех с ? Fg, мы получаем систе из q однородных
линейных уравнений относительно hj (с2, 4 сп)> 0< / < ц- I. Определителем
этой системы является отли* ный от нуля определитель Вандермонда.
Отсюда следует, чт
hj (cs, ..., сп) - 0 для всех О ^ q - 1, а в силу того, Щ
набор (С2, сп) ? Fg"1 выбран произвольно, по предположу
нию индукции получаем, что все hj равны 0 и, следовательнС
g = 0. '
(ii) Пусть У (х? - X\t хЦп - х"). Если f ~ g (mod /| то очевидно, что f
(clt ..., сп) = g (clr сп) для всех набор
{си ¦ сп) ? Fj. Обратно, пусть f (си .... с") ~ g (си .... &
для всех (с*, Сп) ? Fj. Соотношение х\ = xf (mod У), 1
'С i и, & > m ^ 1, которое выполняется тогда, когда к 4 = т (mod (д -
1)), позволяет получить многочлены gx. ЭЩ многочлены по каждой из
переменных имеют степень, меньц^ чем д, и удовлетворяют соотношениям / ==
fx (mod У), g i = gi (mod У). Тогда
fl (н" ¦ ¦ ¦ " Cn) ^ f (Cl, . . . , Cn) ~ g (Cj, ¦ . . , Сд) " ЦТ (?l* '
¦ ¦ " Ol);
для всех наборов (сь ..., сп) ? Fj. Теперь из п. (i) следует, чт fi ^ g\
и- значит, f н g (mod У).
(iii) Этот пункт следует из пп. (i) и (ii).
Однозначно определенный многочлен g из леммы 7.40 (ii; называется
результатом приведения многочлена [ по модул"
идеала У и обозначается / (mod (х? - хи х% - х")). Teneft мы можем
следующим образом обобщить теорему 7.6.
7.41. Теорема. Пусть р - характеристика поля fч. Тог' система многочленов
.... fn ? F? [хи ..., хп ] является орт еональной системой над полем
тогда и только тогда, ков выполняются следующие два условия:
(i) в многочлене
Я"! . ¦. fn~l (mod (tf - xu ., ., xl - xn))
коэффициент при xf~ ... xlT не равен 0;
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных 467
(ii) в многочлене
fi fnn (mod(*? - Хи коэффициент при хГ' ... х*Г} равен О, если <ь ...,
tn - иелые
числа, удовлетворяющие условиям 0 < tt < q _ 1 I < / < п
не все tt равны q - 1 и хотя бы одно t-t не сравнимо с 0 по модулю р\
Доказательство. Пусть многочлены h /" образуют орто-
7то0<ТУ< Г ГГ ,Г? ТуСТГ '" €Z - такие
многочлен < 1' < < , < п. Если через g обозначить
f\ ... /п"(mod(4 - *i, ..., 4-лД),
¦
имееЛвд ЛеМ"Ы 7 40 " Ф°РМУЛЫ (7 20) многовлен g <*,.............
.........= S (4 ¦ ¦ ¦ /1п)(и......................с") •
и 'n)€Fj
• (1 - (* - с,)"-') ... (I _ (Хп _ Тогда коэффициент при хГ' ... xf' в
многочлене g равняется
(-")" S п (41 • • ¦ !>) (А с") =
^ ^ tc ^,r|r"^l(Cl' C'n)/' св)^ =
(с! * ¦ • *. Сп) ?
(-1)" s
{а! ая) ? fq
a'i' ... ai"
(
1Г (.& "'I'" (
^ >
Условия (i) и (ii) следуют теперь нз леммы 7.3.
Обратно, пусть выполнены условия (i) и (ii). Тогда в силу проведенных
выше вычислений из (i) следует, что
S (/?"' ¦ ¦ ¦ Д~')(А..................СЯ)#0, (7.21)
(^1 t ' " ¦ f
а нз (П) вытекает" что
Б (К1 * • . f*n)(Cl, . . м Crt) = 0
(со " • * сп) ?!F?
468
Гл. 7. Перестановочные многочлены
¦:П
для /1т ..., tn из условия (ii). Используя равенство
? J(ci, -.
(ch " 1 т ги.) ? !F ?
получаем, что
Сп)"''
?
Л
:.*?Й
(И
) " >
?
¦ * Сп) 6 Г
fn)(cu . . Oi) - О
(7.2:
"
<7
я
1 при 1 < г < "2
для .... tn?Z, таких, что 0 < t{ < не все tt равны q - 1 и не все tt
равны 0. Равенство (7.22) триви| ально выполняется для ti = ... tn = 0.
Для того чтобы по|
казать, что многочлены flt ..., fn?fq U,, ..., лги ] ортогональную
систему над полем Ffl, достаточно показать, ч?\
