Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
многочленов Дик-
Комментарии
487
сона от нескольких переменных можно найти в работах Eier, Lid! [I|( Lidl
[83, Lidl, Wells [13. Ортогональные системы gk (а) нз теоремы 7.46
замкнуты относительно операции композиции тогда н только тогда, когда а =
0, а = i или а -L Этот результат доказан Лндлом н Уэллсом (Lidl, Wells
[II) н обобщает теорему 7.22. Теоретико-групповые исследования,
аналогичные теореме 7.23, содержатся в статьях Lidl [41, [63, Lidl,
Muller [11, Matthews R. [I 1. Для случая n = 2 системы gk (я). которых
якобиан отличен от нуля во всех точках пространства Fg, были
охарактеризованы в работе Lidl 153; Мэттьюз (Matthews R. [2 3) проделал
то же самое для случая произвольного п. Предположение Лидла и Уэллса
(Lidl, Wells [II), в соответствии с которым многочлены Диксона от
нескольких переменных играют ту же роль, которую играют многочлены
Диксона от одной переменной в гипотезе Шура (Schur (41) (см. примечания к
§ 2), было опровергнуто в статье Fried [4 3. Системы многочленов Диксона
от нескольких переменных изучались также
з работе Matthews R. 123.
Теорема 7.47 получена Ниддеррайтером (Niederreiter [13). В случае
нечетного q этот же результат был независимо получен 1 идлом (Lidl ИЗ).
Аналогичный критерий, сформулированный в терминах рангов матрицы
квадратичной формы н расширенной матрицы, можно найтн в работе
Niederreiter [3 3. Муллен (Mullen [7 3, [81, [ЮЗ) изучал локальные
перестановочные многочлены иад полем от п ^ 2 переменных, удовлетворяющие
следующему условию: еслн зафиксировать любые значения из Fg для любых п -
1 переменных, то получающийся при этом многочлен от одной переменной
является перестановочным многочленом поля Fg. Системы образующих для
групп перестановочных полиномиальных векторов относительно операции
композиции были получены в работах Lidl [23 н Lidl, N iederreiter [I].
Мэттьюз (Matthews R. [31) изучал группу перестановочных полиномиальных
векторов над полем F^r с коэффициентами из Fg. Приложение ортого-
нальных систем над полем Fp к изучению снловеких р-подгрупп
симметрических групп Spn появляется у Калужнниа [1 I. Гудстейн
(Goodstein [13) показал, как с помощью операции композиции получить все
многочлены от нескольких переменных над полем Fg.
Теория соответствий н допустимых многочленов, приводимая в упр. 7.26-
7.31, была развита Карлнцом в работах Carlitz N151, [1171, [ 1211.
Понятие смежного клаеса для системы многочленов (см. упр. 7.49)
появляется в работе Niederreiter [21. Классы эквивалентности для
многочленов н систем многочленов нз Fg Uy, ..., хп ], рассматриваемых по
модулю идеала (х**- лу, ...
Хп изучались Карлнцом в работах Carlitz[47, [59 3,11101
(см. также Cavior [63, Mullen П ), 12), [3], 191). Аналогичные
ASS
Гл. 7. Перестановочные многочлены
понятия для матриц лад конечными полями рассматривались в работах
Brawley, Mullen Ц], Chao ill, Mullen [41, [61, [111, [12b
Множества значений, принимаемых многочленами от нескольких переменных,
стали предметом специального исследования, Кантор (Kantor [1]) получил
формулу для числа значений, принимаемых произвольной квадратичной формой
над полем Рр, где р - нечетное простое число. В статье Williams К- S. [3]
подучено достаточное условие для того, чтобы множество значений
V ' г
многочлена над полем Fq совпадало с fq. Асимптотические результаты о
распределении значений многочленов над конечными простыми полями были
получены в работах Tietavainen [101, Williams К. S. 17I. Частный случай
элементарных симметрических многочленов был подробно изучен в работах
Aherth [1], Akhtar [1 1, Fine [1]. Другие результаты, связанные с
элементарными симметрическими многочленами, можно найти в работе Birch
[11. Нижние границы для числа значений, принимаемых диагональными
формами, были получены в работах Chowla, Mann, Straus [ I 1 (см. также
Marin [3, ch. 2 1) и Diderrich, Mann 111. Диксон (Dickson [23 J, [281)
изучал однородные многочлены, множества значений которых содержат только
квадраты или только кубы. Некоторые частные результаты о множествах
значений, принимаемых системами многочленов, можно найтн в работах Redei
[I], Redei, Weinert Ц] и Перельмутер [71. Вопросы, связанные с
множествами значений, принимаемых многочленами, имеют также
непосредственную связь с вопросами решения уравнений в конечных полях
(см. гл. 6).
[По тематике гл. 7 имеются также работы Nobauer [1* J, [2* 1.- Перев. 1
Упражнения
7.1, Пусть Ь Г,;-фиксированный элемент поля, Положим
<7-1
/,>> I - ? ' V-
1-0
Показать, что Д {а) - 0. если а ? Fq, а ф b п fb {Ь) ¦ 1. Пользуясь
формулой
(7.1), показать, что ^ ^ = ( 1)! (mod р), где Q^j < q -- 1, ар -
харак-
теристика поля Ff/. {Замечание- Приведенное выше сравнение для
биномиальных
коэффициентов можно также вывести нз равенства (х 1 f'~l ¦ (xq ¦- !)/(т
- I).)
7.2. Доказать, что если q - простое число, то в условии (и) теоремы 7.4
достаточно-рассматривать целые /, заключенные а пределах I 1 (q - 1)/2.
