Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
и ?0, Ви В\ поля Fg, где А( ф 0, Bt ф 0, 1 < / < &, Целое • число k
называется рангом соответствия Г, Многочлен h б Fg lx, у\ называется )!
допустимым для Г, еслн h (а, Ь) - 0 при {а, Ь) б At X Bi для некоторого
i/f 1 ф i ^ k, и h (я, Ь) ф 0 в остальных случаях. Доказать, что
допустимый многочлен для Г вида Н (х, у) - / (х) - g {у) существует тогда
и только тогда, когда | к ф q - 1 или k = q - 1 и при этом или 710 ~ 0,
или Д, ~ 0, Доказать, что,| если к ¦- q - i, Аа Ф 0, ВйФ 0, то допустимый
многочлен для Г имеет вид|
h(x, у) = ~ f {xf~') (\ ~ g {yf~l) ф (f {х) - g (у))я~\ ц
где / и |f -v некоторые многочлены над полем Fg.
Упражнения
491
7.27. Многочлен h ? [Ft/ fx, f/ j называется допустимым, если он является
допустимым для некоторого соответствия в поле Ffp Два допустимых
многочлена называются эквивалентными, если они являются допустимыми для
одного и того же соответствия. Доказать следующие утверждения:
(i) два допустимых многочлена /iL (х, у) и Нг (х, у) являются
эквивалентными тогда и только тогда, когда
Ai (X, yf 1 ^ Аа (X, yf- Ulod(xV -X, ув - у)):
{ii) число классов 'эквивалентности допустимых многочленов равно числу
соответствий.
7.28. Доказать, что еслн многочлены (х, у) и ht (х, у) являются
допустимыми для некоторого соответствия Г. то h (а\ у) =*. hx (х, у) ht
(х, у) тоже является допустимым многочленом для этого соответствия.
7.29. Доказать, что если многочлен h (х, у) = g (х - у) является
допустимым для некоторого соответствия Г в поле fq и число различных
корней многочлена g п поле F,? равняется целому числу т > 0. то т делнт
q. а ранг соответствия Г равняется q!m.
7.30. Пусть f (х) и g (у) - многочлены над нолем Fq, Доказать, что
многочлен h (х. у) f (х) g (у) является допустимым многочленом в каждом
поле F ,
ф I
г 1, 2, тогда и только тогда, когда хотя бы один из многочленов f или g
является постоянным.
7.31. Пусть/j (х), (х), gy (у), g± (у) - многочлены над полем Fq.
Доказать,
что многочлен h (х, у) =¦ /т (х) (у) + /2 (х) g2 (у) является допустимым
в поле
F г 1,2, .... тогда и только тогда, когда НОД(^,/Д= МОД (g,, g.?) =. I.
7.32. Пусть f ? Z (Х|. ..., х"], а р - простое число. Назовем f
перестановочным многочленом по модулю р, если он, рассматриваемый как
многочлен над полем Fp, является перестановочным многочленом над полем
Fp, Доказать, что f является перестановочным многочленом по модулю р
тогда и только тогда, когда каждое из сравнении
f (И ¦ -, *н) = " (ii'iod р), п - 0, 1, - I,
имеет хотя бы одно решение и
р - \
2 ап}(рП ' == 0 (mod р'1"1)
аг ...,аи=о
ДЛЯ всех / 1,2, р -
7.33. Доказать, что многочлен axtl -f- b ? I fx], й^О, является
перестановочным многочленом по модулю р для бесконечного множества
простых чисел р тогда и только тогда, когда п нечетно.
7.34. Пусть gfj (х, а) - многочлен Диксона над кольцом "I , причем а ф 0.
Показать, что gk (х, а) является перестановочным многочленом по модулю р
для бесконечного множества простых чисел р тогда и только тогда, когда
Нод (ft, 6) = 1,
7.35. Доказать, что многочлен / ? 7, [х] является перестановочным
многочленом по модулю р для всех простых чисел р тогда и только тогда,
когда / - линейный многочлен со старшим коэффициентом, равным ±1.
7.36. Пусть I ^ т < п. Доказать, что многочлен f ? F,r Ulf ..., xm]
является перестановочным многочленом над полем Fq тогда н только тогда,
когда °н, рассматриваемый как элемент кольца Fq [xj, .. ,xnj, также
является перестановочным многочленом над тем же полем.
7.37. Доказать первую часть теоремы 7.42, используя теорию характеров.
7.38. Пусть f ? Fq [хь ..., хт] - перестановочный многочлен над полем и
пусть g ? Fq [xm4.b ...,xnl, где 1 ^ m < п. Показать, что многочлен
h (JCj, . . ., Xn) = / {Xj, . , Хт) g (Xm + l, • - •, *n)
492
Гл, 7. Перестановочные многочлены
является перестановочным многочленом иад полем [F^ тогда и только тогдаs
когда| уравнение хп) = 0 не нмеет решении в f
7-39. Доказать, что многочлен
I л-m ?
•Л.
к
а
j,Vj -f- ¦ • ¦ -j- йпхп 1 ? F [х^, - - м %ri}
№
Ш
.•га*
t .j
является перестановочным многочленом над полем Fg, если дли пекоторога|
/, ! ^ г ^ ft, выполняются соотношения а{- -ф 0 и НОД (ki, q !) = I.
7.40. Показать, что если / р Fg (хь ,..,х71| является перестановочным,
многочленом над полем Fg, то перестановочными многочленами над этим
полем;1 являются и все многочлены вида bf -4- с, где b р IF*, с р IF,,.
-.5
Ч Н •' •.
7.41. Показать, что если f Р Fg (ад, ,,., хл j является перестановочны^
многочленом над полем Fg, то для всех k р IN, удовлетворяющих условию';'
НОД (k,q- 1) ~ 1, многочлены ^ также являются перестановочными много*
членами над полем Fg.
7.42. Пользуясь обозначениями, введенными после теоремы 7,47, доказать,!
что многочлен f ? [р^ [лгх, ...,xnj является перестановочным многочленом
над)! полем [рд тогда и только тогда, когда rg (Л') > rg (Л), ¦%
7.43- Пусть f,g р (#i, н пусть чнсло решений у равнения^
f (хх. .... Д'н._|) - 0 в F"~'] не делится на q. Пусть многочлен h ? Fg
