Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Таблица нормализованных перестановочных многочленов над F? степени не
выше 5 взята из книги Dickson [7" part I, ch, 5]. Классификация таких
перестановочных многочленов, а также нормализованных перестановочных
многочленов степени 6 для поля F$ нечетной характеристики проводится в
работе Dickson [21. Для случая простого числа q эти результаты были
получены еще в работе Dickson [1]. Другой подход к анализу случая,
указанного в 12-й строке табл. 7,1, для простых q
Комментарии 479
приводится в статье Chowla S. [23]. Классификация некоторых типов
перестановочных многочленов степеней 7 и 8 проведена соответственно в
работах Dickson [2] и Cavior [! I. Перестановочные многочлены поля для q
~ 5 приведены в работе Betti П 1, для q - 7 - в работах Hermite[2],
Brioschi [1 К [3], Rogers L. J,
[1], Dickson [2], а для других малых значений q - в работах Brioschi 11]
и Dickson ПК [7t part I, ch. 5].
Теорема 7. И получена в работе Niederreiter, Robinson [2]. Доказательство
достаточности в этой теореме с условием ц (а2 - - !) = 1, .замененным его
эквивалентной формой из замечания
7.12, было получено ранее в работе Carlitz [83]. Простая форма этого
условия приводится в упр. 7.9. Исследования перестановочных многочленов
поля F<* вида хт+1 + ах, где т - делитель числа q - 1, а также некоторых
других аналогичных многочленов можно найти в работах Carlitz [83], [93],
Carlitz, Wells [I], Lausch, Nobauer [I, ch. 4], Niederreiter, Robinson
[2], cm. также упр. 7.11. Теоремы 7.13 и 7.14 получены Карлицом (Carlitz
[93]). В статьях Brioschi [I] и Grandi [2] изучались перестановочные
многочлены поля Тр вида xp~l~s + axlp~l~~2s)/2. Вопрос о том, когда
многочлен вида хр~$ + -у
может быть перестановочным многочленом простого поля исследовался в
статьях Brioschi [2] и Grandi [I ]. Другие частные случаи многочленов
изучались в работах Carlitz [88] и Grandi [2].
Многочлены Диксона были введены в работе Dickson [2], см. также
монографию Dickson [7, part I, ch. 5]. Теорема 7.16 получена в работе
Nobauer 110]. Ослабленный вариант этого критерия установил ранее Диксон
(Dickson [2]). Другое доказатель ство достаточности 11риводнтся в статье
Williams К* S. [25] Следствие 7.17 было отмечено Човлой в работе Chowla
Р. [2]. Информацию о суммах Бревера можно найти в примечаниях к § 5 гл. 5
настоящей книги. Многочлены Диксона можно вычислять с помощью простой
рекуррентной процедуры (см. упр. 7.15). Дальнейшие результаты, связанные
с многочленами Диксона, содержатся в работах Dickson [2], [7, part I, ch.
5], Lausch, Nobauer [1, ch. 4], Williams K. S. [25]. Многочлены Днксоиа
как перестановочные многочлены кольца Zf(m) изучаются в статьях Lausch,
Muller, Nobauer [II, Muller П I, Nobauer [81, [12]. Взаимосвязь между
рациональными перестановочными функциями (см. Redei 141) и многочленами
Диксона была установлена Карлицом в работе Carlitz [861. В статьях
Carlitz [79] и Rosenberger [1] указаны некоторые приложения многочленов
Чебышева. Общую информацию о многочленах Чебышева можно найтн в книге
Rivlin 11].
Значение многочленов Диксона особенно возрастает в связи с известной
гипотезой Шура (Schur 141) о том, что любой многочлен f ? Z Ixf,
являющийся перестановочным многочленом про-
480
Гл, 7. Перестановочные многочлены
стого поля (т. е. рассматриваемый по модулю простого $}jj
-: , - А __ -_____________ _ _ _
^______________________________________ - ^
*_____________________ _ • <\*&
Комментарии
481
[841. Макконнел (McConnei [1]) обобщил результаты Карлица из работы
Carlitz [82] в другом направлении и доказал результат, который можно
сформулировать следующим образом: если G - собственная подгруппа группы
то многочлен f ? Fq Ы, deg (/) < Q, удовлетворяет соотношению
(а - Ь)~1 (f(a) - f(b))$G - для любых a, b? Fqt афЬ,
тогда и только тогда, когда / можно представить в виде / (х) =
< ______________________
схрг 4 d, где с С G, d ? Fq и р/ = 1 (mod т), а т является индексом
подгруппы G в группе [р^. Другие доказательства этого результата
приводятся в работе Bruen [1] для случая простого q п в работе Bruen,
Levinger [1] для общего случая. В работах McConnei [ I ] - [3] эти
результаты обобщаются на.случай многочленов от нескольких переменных. В
статье Grundhofer [1] описываются все многочлены f С Fq Ы, которые
удовлетворяют соотношению
(а - b) (f (а) - f (b)) ?G, a, b ?fF,,, афЬ,
В работе Glazek [!] изучались перестановочные многочлены поля
коммутирующие со всеми автоморфизмами этого, поля.
Вели оба многочлена fix) и f (х) 4~ х являются перестановочными
многочленами поля Fg, то f (х) называется вполне перестановочным
многочленом поля Это понятие впервые было введено в статье Niederreiter,
Robinson [I ] и было детально изучено в работе Niederreiter, Robinson
[2]. Човла и Цассенхаус (Chowla, Zassenhaus [1]) выдвинули следующую
гипотезу: если f (х) С (. -Z [х], deg (/) ^ 2, р - достаточно большое
простое число и многочлен / (х), рассматриваемый по модулю р, является
