Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
делению.
7.34. Определение. Многочлен f (х1% ..., *") € Fg ..., хп ] называется
перестановочным многочленом от п переменных над падем еслн для любого fq
уравнение / (дд, .хп) а
имеет ровно qn~{ решений в F?.
В случае п > 1 мы ие можем сказать, что перестановочный многочлен f (Xi,
хп) над полем Fy индуцирует перестановку
элементов множества fj ввиду того, что соответствующее отображение ие
является отображением F^ в себя. Однако следующее
определение позволяет рассматривать отображения из F? в которые
индуцируются системами многочленов от нескольких переменных.
7.35. Определение. Система многочленов
/l> ¦ ¦ ¦" /т F F [М" ¦ ¦ * 1 Xji ]" 1 ft)
называется ортогональной над полем fq, если для каждого набора (ai, а,п)
F 8Т система уравнений
- • - ? Л'п) " ^1" * ¦ ¦ I fm (М" • • *" ^в) ~ ftm имеет ровно qn^m
решений в FJJ.
В частном случае, когда т - п, это означает, что ортогональная система
многочленов /у, ..., fn индуцирует перестановку
элементов множества pj. Применяя терминологию из определения 7.35 к
одному многочлену, мы можем сказать, что многочлен [ является
перестановочным, если он сам по себе образует орто-
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных
463
тональную систему* Из определения 7.35 непосредственно следует, что любая
непустая подсистема ортогональной системы многочленов сама является
ортогональной. В частности, любой многочлен, входящий в ортогональную
систему, является перестановочным многочленом. С другой стороны,
следующая теорема показывает, что каждую ортогональную систему из т
многочленов от п переменных, где т < я, можно дополнить до ортогональной
системы, содержащей большее число многочленов. Для
этого, во-первых, заметим, что каждое отображение т: fj ->¦ |р9 можно
представить с помощью некоторого многочлена g (xt, ..., хп) над нолем Г9,
который по каждой переменной имеет степень, меньшую q. Этот многочлен
задается следующей формулой:
§ 1-^1" - ' ' ' *п) ~
S т , .. ,, сп) (1 - (ад - С!)'?-1) , Л (1 - (хп - спу~~1).
(сг,(7.20)
Нетрудно проверить, что ц{сЛ, .сп) ^ т (сь сп) для всех наборов {си ....
Сп) € FJ-
7.36. Теорема. Для любой ортогональной системы многочленов /1. --•>
1т?Т$\хъ хп ], i дД т < п, над полем и любого натурального числа г, i -С
г <> л - т, найдутся многочлены
fwi-b , * * г /тэг ? ^ q (-^i" ¦ ¦ ¦ I Xft ], такие, что f ^, .,., f т+г
образуют ортогональную систему над полем рч.
Доказательство, Достаточно доказать теорему для г - i. lie л и (й1} ат) ?
F?, то положим
5* {&¦ ь . .., ат) = } (^1, . .., Сп) ? Fq | f i (Cj, ..., Сп) ai, i дД i
tn},
Ho предположению каждое множество S (ax, ..., am) содержит ровно qn-m
элементов. Теперь каждое множество <S (av, ат) разобьем произвольным
образом на q попарно непересекающихся подмножеств S (а,, ат, а), a ?fq,
каждое из которых содержит qn~m~l элементов. Построим отображение т:
(F? F?
следующим образом. Так как каждый набор (ci, сп) ? принадлежит лишь
одному множеству 5 (%, .... ат, а), положим 1 сп) = а. В силу (7.20)
отображение % можно задать
с помощью многочлена /m+l (xlt ха) иад нолем F?. Этот многочлен и
является искомым. ?
Необходимое н достаточное условие для того, чтобы система многочленов
была ортогональной, можно получить с помощью характеров. Воспользуемся
обозначениями для аддитивных характеров, введенными в теореме 5.7.
464
Пп. 7, Перестановочные многочлены
7.37. Теорема. Система многочленов /у fm?Fg
..., хп ], 1 С т я" является ортогональной системой над полещ
(Tq тогда и только тогда, когда
{/i (^1" ..." cn)) < • ¦ (/m (Cb ¦ < ¦ > ?я)) " 0 vi
n l m -'3
(c j. ¦ ¦ ¦. t'/i) ? FV
для любых аддитивных характеров у. , ..у поля гдШ
v°l. * **
(bi, • ¦ 6m) # (0, .. 0).
Доказательство. Для любого набора (аь .ат) ? Fg обоз4г|
начим через N {аи ат) число решений системы уравнений!
f 1 С^-1" * ¦ ¦ * Х-rid ¦ 1 /т (-^1" * ¦ ¦" -^-в) ~ ат
в IFJ. Если система многочленов fu ..." fm ортогональна над то из (5,9)
следует" что s
(/ f {^31 ¦ ¦ - i ?")) ¦ * ¦ %fo if rn (C[, -
. ¦ , Сц)) (tm)
n I m
(Cj f , Cny ? (P ^
S N (af" . .., am) %b (Л|)... %b (ат) ^
1 я*
(^11 T и ¦? ^ f
'¦j
.vs.-
при условии, что хотя бы один элемент bt отличен от 0.
Обратно, если выполняются условия теоремы, то для любого
набора (ai, ат) ? fq из (5.10) получаем
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных 465
7.38. Следствие. Мяогочлек /?FgU1( .... xnj является перестановочным
многочленом над полем Fg тогда и только тогда,
S Х(&(<а. - -. <?")) = О
Ci ""КГ?
для любого нетривиального аддитивного характера % поля fq.
7.39. Следствие. Система многочленов /Д fm ? Fg [х1( ... ..., Хп}- 1 -С т
С, п, является ортогональной системой над полем ?я
тогда и только тогда, когда для любого набора (bu ...f bm) ? jpj\
удовлетворяющее условию (Ьу, ..., Ьт) ф (0, 0), многочлен
bji -г- ... + bMfm является перестановочным многочленом над
полем f q.
Доказательство, Утверждение вытекает из теоремы 7.37, следствия 7.38 и
того, чтоуь (с) - уЛ (Ьс) для любых Ь, с С $>?
