Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
gk (2х, 1) - 2Th (X). (7.7)
В силу этой связи многочлены Диксона иногда тоже называют многочленами
Чебышева. Тождество (7.7) можно использовать для определения многочленов
Чебышёва первого рода Tk (х) над любым конечным полем характеристики,
отличной от 2.
Рассмотрим многочлен Диксона gk (х, а) над полем F. Тогда в поле
рациональных функций над F справедливо равенство
а Д к ak
-, а ) = Ф ч--------
У / * У'
которое получается из (7.5) в результате подстановки х* - у, х2 - а!у. Из
определения многочленов Диксона также следует формула
gK (х, ab2) = 2 j~f (* J') (~аУ bkb-<*-2f>x*-3l = bkgh (b-'x, а),
j =0
(7.9)
448 Гл, 7, Перестановочные многочлены
которая справедлива для любых a, b ? Ft b Ф 0. Следовательно, еслн F
где q четно, то любой многочлен Диксона gh (а, а),
я б Fv - может быть выражен через gk (х. 1), Если же F - Fq, где q
нечетно, то каждый многочлен Диксона gk(x,a)y а б FJ, можно выразить как
через gk (а, I), так и через gh (а, с), где с~ произвольный фиксированный
элемент поля fy, не являющийся квадратом. Для нечетного q в соответствии
с формулой (7,7) многочлены Диксона gh (ад а) можно также выразить через
многочлены Чебышева первого рода Тк (а). В самом деле, если элемент р б
F?- таков, что р2 <2, то из (7.7) и (7.9) следует, что
gk (х, а) = р<'gh ф-<х, 1) . : 2РkTh ((2Р) 1 дг).
Как правило, случай а -г 0 не представляет большого интереса в силу того,
что gk (ад 0) - хк.
7.16. Теорема. Многочлен Диксона gn (а, я), а б F5, является
перестановочным многочленом поля fq тогда и только тогда, когда
НОД(А, </*- !) = !.
Доказательство. Предположим, что для некоторых byc?fq выполняется
равенство gh(b, о) - gh(c, а). В этом случае мы
I __ 1
можем найти такие р, у 6F^, что р ар Ь, у -т- о у с. Тогда из (7.8)
вытекает равенство р* + akfi~k = yk -f aky~k\ следовательно, (pfe - уД
(pfeyfe ¦- ak) = 0, откуда Pfe - yk или P* = (ay-1)*. Если теперь НОД (k,
q2 - 1) • I, то по теореме 7,8 (ii) многочлен xk является перестановочным
многочленом поля Fqt. При этом р у нли р = ау"1, В обоих случаях
получаем, что b с, т. е. чтоgk (х\ а) - перестановочный многочлен поля
Fq.
Предположим теперь, что НОД (k, ф - 1) = d > 1, Если d четно, то q
нечетно, a k четно. Из (7.6) следует, что gh (а, а) содержит только
четные степени а, поэтому gh (с, а)-= gh (- с, а) для всех с б FJ. с Ф -
с. Следовательно, gk (а, я) не является перестановочным многочленом поля
Fq, Если d нечетно, то существует нечетное простое число г, делящее d.
Тогда г делит k, и, значит, или q - 1, нли q + 1 делится на г. Рассмотрим
эти два случая по отдельности. В первом случае уравнение аг - 1 имеет г
решений в поле fy, т. е. существует элемент b б Тq, Ь Ф 1, а, для
которого br = 1. Тогда bk - 1 и из (7.8) следует, что
gh Ф h а) 1 + ak - gk (1 -f я, а).
Так как из равенства b + ab~l - ! -f а вытекает, что или b ~ 1, или b =-
а, то мы получаем соотношение b 4- аЬ~г Ф I 4- а.
Следовательно, gk (а, (2) не является перестановочным многочленом ноля
Fq. Во втором случае пусть у б F?2 " решение уравнения - <2. Так как
уравнение хг - 1 имеет г решений в поле Fy*. то найдется элемент р б FV,
Р Ф I. ау~%, удовлетворяющий
§ 3, Группы перестановочных многочленов
449
равенству pr = 1. Кроме того, р?-н = I и р* - 1. Значит, в силу (7.8)
gh (V + erf1, а) - gk (Py Д a <Py)-1^ й)*
Далее, справедливы соотношения у -г- ay~i - у i Y* ? Fa н ру -*- а (ру)-
1 ~ ру + (ру)? G Гг/, а также ру ' а (ру) 1 ф у 4*
4- ау"1. поскольку иначе р = I или (3 ау"2. Таким образом,
g)( (ау а) опять ие является перестановочным многочленом поля Р?-П
7.17. Следствие. Если а ? f *q и НОД (*, q2 - 1) - I, то
И х to (с.")) = о
С с г"
>
для любого нетривиального аддитивного или мультипликативного характера %
поля F9.
Доказательство. Так как по теореме 7Л6 м(гогочлен gk {а, о) является
перестановочным многочленом поля fv, то
? xtoT. "))"' ? хм.
? € t ? I1 q
и тогда этот результат следует из формулы (5.9) или из (5.37). ?
Суммы значений характеров, появляющиеся в следствии 7.17, в случае, когда
х - квадратичный характер поля F^. q нечетно, a k ? N - произвольное
число, подробно изучались и получили название сумм Бревера (см. также
комментарии к § 5 гл. 5).
В последнем параграфе настоящей главы мы рассмотрим многочлены Диксона от
нескольких переменных, являющиеся обобщением многочленов вида (7,6)
§ 3. Группы перестановочных многочленов
Перестановочные многочлены поля F#. имеющие степень, меньшую чем qt можно
комбинировать друг с другом с помощью операции композиции и последующего
приведения по модулю ао ~ а, Будем для удобства записывать эту операцию в
виде
(g М) (f М> = О (*)).
понимая под этим, что f (g (а)) = h (a) (mod (& - а)). Множество
перестановочных многочленов поля имеющих степень, меньшую чем q, образует
группу относительно указанной выше операции. Эта группа изоморфна
симметрической группе 5^. т. е,
J руппе всех перестановок на множестве из q элементов. Таким образом,
