Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
^2 ^.2 - СЛедовательно, Tj (а2 - 1) = 1. ?
7ЛЗ. Теорема. Если а ? FJ, еде q нечетно, то многочлен ?<н-|>/г 4- ах не
является перестановочным многочленом ни для какого поля F г с г > 1.
ц
§ 2. Примеры перестановочных многочленов 445
. .. -^-'-'-L-*-1 и-,--- Гггтг Г|ТТ1|П .. .. п-Г-ПТ1" ~ • I
Доказательство. Если г четно, то результат вытекает из следствия 7.5.
Если г нечетно, то, полагая т - (q - 1}/ 2, получаем, что цг ... ~ !
(mod (гп 4- !}}, т. е. что qr - k (т 4- !) -f т для
некоторого k ? М. Заметим, что из соотношения k (т -г 1) = = т 4 ! (mod
q) и того, что НОД (т 4 !, q) - 1, следует, что k ее i (mod q). В силу
теоремы 7.4 достаточно показать, что многочлен
\хт И ax f'?п 4
Г
приведенный но модулю & х, имеет степень qr - !. В самом деле,
й+щ - 3
(*"41 ах)^+т^! = V /А 4 Ш - 1 \ а/х{т \.\) (й-fm-/-1)47 -
/
/-0
?-fm-1
k 4 I ^ |
/=о 1
Для / >- m соответствующие показатели степени переменной х не превосходят
цг - 2. Как нетрудно заметить, при / < т - 2 соответствующие показатели
степени х не меньше, чем qr, но и не больше, чем 2рг- 3. Таким образом,
после приведения этих
Г
членов но модулю х9 - х мы получим одночлены степени, не превосходящей цг
- 2. Остается член, соответствующий j - т - 1 и равный
k + m" 1) дт-1^-1 ТП I
В этом случае достаточно показать, что указанный выше биномиальный
коэффициент не делится на характеристику р поля Fg.
Если через sn обозначить сумму цифр в р-ичном представлении числа п} то
из соотношений k ее 1 (mod q), rn < ц и m ф 0 (mod p) следует, что sh+m_x
- 4 sk, и тогда по лемме 6.39 получаем,
что
((* m -Е 0) = p4f Is"-1 Ч- s" - = О,
откуда следует утверждение теоремы. ?
Теорема 7.13 наводит на мысль о том, что многочлены иад полем Fg,
являющиеся перестановочными для всех конечных расширений поля fg,
встречаются, по-видимому, достаточно редко. На самом деле многочлены с
таким свойством имеют очень специальный нид, и их_ можно полностью
описать,
446
Гл. 7. Перестановочные многочлены
7.14* Теорема. Многочлен f{x)?Fq\x] является перестановочным многочленом
для всех конечных расширений поля F9 тогда и только тогда, когда его
можно представить в виде f (х) -
h
ахР ) где а Ф 0У р - характеристика поля Tg, ah - некоторое
неотрицательное целое число.
Доказательство. Достаточность непосредственно следует из теоремы 7.8 и
замечания к теореме 7.9. Для того чтобы доказать необходимость, заметим
сначала, что если / - перестановочный многочлен поля Fq, то для любого
c?fq уравнение f (х) - с имеет единственное решение d?fq. Тогда
/ (х) - с = (х - df g (х),
где k ? IN, g?FqIx) и лнбо deg (g) = 0, либо g является произведением
неприводимых многочленов gt ? Fq[x], deg (g|) ^ 2. Если для некоторого i
число г делится иа deg (gt), то gt имеет корень в F^r и, следовательно, /
не является перестановочным многочленом поля Fдг- Таким образом, должно
выполняться равенство
/ (х) - с - а (х - d)k, а ф 0, (7.3)
т. е. для любого с ? F^ найдется элемент d ? Fq, зависящий от с, такой,
что выполняется (7.3). Беря с = 0 и с - 1, получаем
а (х - d0)k - а (х - d^ =- 1.
Заменяя х на х Т dly приходим к равенству
а {х + dt - do)k - axk -- 1.
Применяя формулу бинома, получаем
^ IE 0(modр), OCjck. {7.4}
Число k удовлетворяет неравенствам ph ф k < ph+l для некоторого h ? Z, h
0. Еслн k Ф ph, то, полагая j = ph, из леммы 6.39 получаем
Ер ((у)) : р_1 ^ Sh^ ~
где sn обозначает сумму цифр в р-ичном представлении числа п. Так как
последнее соотношение находится в противоречии с (7.4), получаем, что k =
рн. Утверждение теоремы следует теперь нз формулы (7,3), ?
7.15. Следствие. Если многочлен /(x)?Fqtx] нельзя представить в виде ахр
+ h, то существует бесконечно много расширений F^ поля fg, таких, что f
(х) не является перестановочным
многочленом поля F^.
2. Примеры перестановочных многочленов 447
Доказательство. Если / не является перестановочным многочленом поля F9,
то он не может быть перестановочным многочленом ни для какого поля вида г
? N. Если же / - перестановочный многочлен поля то доказываемый результат
можно извлечь из доказательства теоремы 7.14. ?
Введем теперь специальный класс многочленов, называемых многочленами
Диксона. Они обладают некоторыми интересными свойствами и являются новыми
примерами перестановочных многочленов. Пусть Хц х2 - переменные и k ? N.
Тогда, как мы видели при доказательстве теоремы 5.46, из формулы Варинга
следует, что
L*/2j
4+4=2 ~r ( W <*| + "о*"*'. (7.Б)
,'=0
•_Ь
Это равенство выполняется для любого коммутативного кольца R с единицей.
Еслн а ? Rt то определим многочлен Диксона gk (х, а) над кольцом R
формулой
L*/2J
gk {*> а) - j-- СТ j) (-a)* xk~rL (7.6)
/-.о
Если перейти к полю комплексных чисел, то определенные выше многочлены
оказываются самым тесным образом связанными с хорошо известными
многочленами Чебышева первого рода Th (х) = cos {k arccos х). В самом
деле, если мы в (7.5) положим Xl = eiet х2 - то из (7.6) вытекает, что 2
cos &6 = gh (2 cos 8, I) и, следовательно,
