Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
утверждение теоремы 7.29 не всегда остается справедливым. Так, например,
хр является перестановочным многочленом поля Fg, однако равенство (хр -
ур)1(х - у) = (х - у)р~1 показывает, что хр не является исключительным
многочленом над полем fq.
Если объединить теоремы 7.27 и 7.29, то можно получить следующее описание
перестановочных многочленов в случае конечных полей с достаточно большой
характеристикой.
7.30.Следствие. Для любого целого п ф 2 найдется константа Кп, такая, что
для любого конечного поля Fg характеристики р ^ Кп выполняется следующее
утверждение: многочлен / (я) ? ? fg \х] степени п является
перестановочным многочленом поля Fg тогда и только тогда, когда он
является исключительным многочленом над полем Fg.
Следующий результат, который в конечном счете тоже вытекает из теоремы
Ленга - Вейля, помогает выяснить, в каком случае для данного конечного
поля не существует перестановочных многочленов данной степени п.
7.31. Теорема. Существует последовательность целых положительных чисел
klt L2i ... , обладающих следующим свойством: каково бы ни было
натуральное число п, если fq - конечное поле порядка q ф kn, НОД (и, q) -
1 и fq содержит корень п-й степени из единицы Ф 1, то не существует
перестановочных многочленов поля fg, имеющих степень п.
Доказательство. Пусть f ?Fqlx] - произвольный многочлен степени п\
положим
Разлагая многочлен Ф на неприводимые сомножители сначала в Wq Iх, у], а
затем над подходящими последовательными алгебраическими расширениями поля
Fq} получаем в итоге некоторое алгебраическое расширение Е поля fq и
разложение над Е
где ап - старший коэффициент многочлена / (х), а каждый сомножитель g( ?
Е (х, у] является нормированным по х и при этом абсолютно неприводимым.
Пусть hit 1 < г, - однородная
часть наивысшей степени многочлена gt. Тогда
ф (*, У) = (/ (X) - / (у))1(х - у).
(7.19)
§ 4. Исключительные многочлены
461
гак как левая часть этого равенства является однородной частью наивысшей
степени многочлена Ф. Кроме того.
хх_уу = (* - 5ij/) • • ¦ (* - ?в.1 у).
где ?1( ... , ?n_i - отличные от 1 корни п-й степени из i в поле [Г
которые все различны в силу теоремы 2.42 (i). Отсюда следует, что
многочлен х - ty ? [дд у ] делит в точности один из сомножителей hL.
Цусть для определенности это будет hv
Пусть о - автоморфизм кольца Е {х, у j, задаваемый формулой
сг / 2 ^ ? ct%xfyk.
А / /.А
*
Применим сг к (7.19) и заметим, что сг (Ф) - Ф н о (ал) - ал> так как Ф ?
fq {х, у 3 и ап ? fq. Следовательно, в силу единственности разложения
(7.19) о переставляет многочлены gt, так что о (gj) = gm для некоторого
т, 1 <: т < г, а отсюда следует, что сг (А:) - кт. Так как многочлен х -
?,у делит hlf то он делит и hm - a фд, поскольку (т (х - ?у) ~ х - ?у.
Отсюда вытекает, что т = 1, т. е. что a (gx) - glt Значит, все
коэффициенты многочлена gA лежат в fq и, таким образом, gi абсолютно
неприводим над полем f
Вновь в лемме 7.28 числа klt k2, ... выберем таким образом, чтобы они
образовывали неубывающую последовательность kl < < k.> ... . Пусть d ==
deg (gx) и q > kn ^ kd. Так как /ц де-
лится на д: - %у и Z, ф 1, многочлен gA не может иметь вид gj - - с {у -
jc), с ? F9. Тогда из леммы 7.28 вытекает, что gj (а, Ь) --- 0 для
некоторой пары (а, b) ? Fаф Ь. Отсюда и из формулы (7Л9) получаем, что Ф
(а, Ь) - 0. Следовательно, многочлен / (х) не может быть перестановочным
многочленом поля Fq. ?
7.32. Следствие. Пусть 0П - конечное поле и л б N - четное число. Если
дД> kn и НОД (я, q) ----- !, то не существует перестановочных многочленов
поля jF4, имеющих степень п,
Доказательство. Положим в теореме 7.3i Z, --= - О
Так как мультипликативная группа поля является циклической группой
порядка q- !, то содержит отличный от I корень я-й степени из единицы ?
тогда и только тогда, когда НОД (я, q- !) >1. Таким образом, из теоремы
7.3! вытекает
следующий критерий.
7.33. Следствие. Пусть п ? N. Если q ^ kn и НОД (я, q) = ~ С то
перестановочные многочлены поля имеющие степень я, ЧЩествуют тогда и
только тогда, когда НОД (я, а- 1) = 1.
462
Гл. 7. Перестановочные многочлены
-п
П
Доказательство. Необходимость следует из пр и веде иных выше рассуждений
и теоремы 7.3!. С другой стороны, если НОД (", q- 1) = 1, то из теоремы
7.8 (ii) следует, что является перестановочным многочленом поля fy,
причем deg (хя) - /г. ?
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких
переменных
Пусть п > 1, и пусть fq \xlt ..., хД - кольцо многочленов
от а переменных над полем Через F? обозначим прямое произведение п
экземпляров поля fFy. Перестановочный многочлен ог п переменных над полем
Fq естественно определить как такой многочлен f б [xlf ..., xn]t для
которого число решений уравнения f (а'ь ..." %п) = а в Fj одно и то же
для всех значений а ? F(/. Еслн обозначить это число решений через N, то
должно
выполняться равенство N - qn~*. Действительно, |F " ? N " ЯМ * Таким
образом, мы приходим к следующему опре-
