Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
многочленов, го gk (gm (х, а), а) ? Р (а), еслн НОД (k, q* - I) = == НОД
(m, ql- i) = !. Таким образом, gh (gm (x, a), a)
= gfim (x, а), н В силу (7.10)
gk(gm{x, a), a,n) ^gk(gm(x, a), a).
Так как многочлен gm (x, а) не является постоянным, то
gk(x> ат) '-=--gh(x> а).
Сравнивая коэффициенты при x^~2 для всех k > !, получаем, что ат - а для
всех т, удовлетворяющих соотношению НОД (т, q2 - !) - I. Следовательно,
а"1 ~ а, откуда вытекает, что а -¦ " i I.
Обратно, если а - 0, 1 или - !, то в силу (7.10) множество Р (а) замкнуто
относительно операции композиции многочленов,?
Таким образом, в трех случаях, когда а - 1, а - - 1 и а - 0, множество G
(а) всех перестановок элементов fq, представимых с помощью многочленов из
Р (а), является абелевой подгруппой снмметрнческой группы Sq. Изучим
теперь строение группы G (а). Пусть а ± 1. Для любого с б IF# можно найти
такой элемент у б FJ*, что с = у + ау~1, Тогда для k == т (mod (у2 - 1))
из (7.8) получаем
gh (С а) - gk (У + аУ~1* а) ^ Ук 1 aky k - ут Д- ату~т --=
= ?m(V +<ПГ'. a)+gm(C. О).
§ 3. Группы перестановочных многочленов 453
Следовательно, если НОД (fe, ф - I) 1, то gk (х, а) н gm {х, а)
индуцируют одну и ту же перестановку элементов поля fq. Таким образом,
если каждому классу вычетов числа k по модулю ф - 1 сопоставить
перестановку элементов поля индуцированную многочленом gk (*. я), то мы
получим эпиморфизм R (дъ - I) на группу О (о), где R (ф - I) -
приведенная группа классов вычетов по модулю q2- 1, или, иначе говоря,
группа обратимых элементов кольца 2!{ф - i). Теперь в силу теоремы 1,23
достаточно найти ядро К {а) этого эпиморфизма.
Если k ? К (а), то gk (с, а) с для всех c?lFV Тогда если
элемент у такой же, как и выше, то ук + аку~к - у + ау~1. Так как ak = а,
то у4 Ц~ ay к = у + ау~!, следовательно, либо ук - y, либо yk - ау~] и,
таким образом,
либо Vй'"1 - 11 либо у*+! = а
для всех у GIF;*, таких, что у -j--ay"1 ?{Fg. (7.11)
Это же условие оказывается достаточным для того, чтобы к б К {а). Теперь
у + ay-1 ? IFg тогда и только тогда, когда {у -Ь ау~1у = - у 4 ay-1, а
последнее эквивалентно тому, что у*-1 - I или н ~ а. Пусть а 1, и пусть
?- примитивный элемент ноля fqt. Тогда или у = или у - где т, я
? Z.
Таким образом, из (7Л1) следует, что к ? К (я) тогда и только тогда,
когда к является решением одной из следующих четырех систем сравнений:
i к " 1 (mod (д - 1)), | = 1 (mod (q - 1)),
I & = 1 (mod (q г I)), ( k - - 1 (mod (q f
1)),
j к н - 1 (mod (q - 1)), f ^ - 1 (mod (q - 1)),
{ k = 1 (mod (q -f 1)), | k н - 1 (mod (q -j-
1)).
Решая этн системы по модулю ф -- !, получаем, что
К 0) ~ {1, д, ~~ д> ~~ И для четного q
КО) - 11, <?, " - I, 1 + (ф - l)/2, q ~f (ф - 1)/2,
- Я + {Ф - 1)/2, - 1 ~Т (iц-г - 1)/2) для нечетного q
Случай а - 1 исследуется аналогичным образом, и в этом случае получаем,
что
К (- 1) = jl, q\ при q ~ 3 (mod 4)
и
Д. (- I) - ^ i {ф _ 1)/2, ц ~f {ф - 1 )/21 при q " (l(mod4).
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей Горемы:
454
Гл. 7. Перестановочные многочлены
7.23. Теорема. Если а ± I, то группа G (а) изоморфна факторгруппе R (у2 -
\)/К (а), где К (а) определено выше. При этом | /С (1}| - 2 для q =
2, \К (01 ^ 4 для четных q > 2,
|/С(1}| =4 для q - 3f 1^(1)! - 8 для нечетных q> 3,
| К (- 1)| 2, если q 3 (mod 4), u |/С (- 1)| - 4, есла г/ е=
= 1 (mod 4). Группа G (0) изоморфна R (q - 1) - группе обра^
тимых элементов кольца вычетов по модулю q - 1.
Приведем еще один интересный класс перестановочных многочленов. Пусть Fяг
- расширение поля F?. Рассмотрим линеаризованные многочлены L (х) вида
Г - 1
L (X) = ? as^s е F"r W. (7.12)
S-0
По теореме 7.9 многочлен L (х) является перестановочным многочленом ноля
Т^г тогда и только тогда, когда он имеет в F^r единственный корень,
равный 0, т. е. тогда и только тогда, когда линейный оператор,
индуцированный многочленом L (х), в поле [fy, рассматриваемом как
векторное пространство над полем
является невырожденным. В свою очередь этот линейный оператор является
невырожденным тогда и только тогда, когда для любого набора элементов Ро,
Рь ¦¦¦ > Pr-i ? F9n линейно независимых над полем Fg, элементы ¦= L (Р0),
Ti = (Pi).
• Тг-i - L (Рг-i) также линейно независимы над полем fq. Теперь из (7.12)
получаем
Ё 0<?, /Сг- 1.
5^0
Пользуясь равенством р f
р(. и полагая at - as для i = s(mod г),
получаем
Г- I
Если А1 н &2 - определители вида (3.13), образованные соответственно
элементами рй) р1? ... , рг-1 и у0, yv ... , уг_ь то
Д2 A] det (Л),
где Л - следующая матрица размера г X г:
¦1
А -
а0 Кг~! ... К|
"j Ко / а"
сс? af /¦ ... Кз
ar i а?_ 2 а?13 чг' ... ад
-1
§ 4. Исключительные многочлены
455
В силу леммы 3.51 многочлен L (х) является перестановочным многочленом
поля F'qf тогда и только тогда, когда беТ(Л)^0.
Множество многочленов вида (7Л2), являющихся перестановочными
многочленами поля образует группу относительно
операции композиции многочленов с последующим приведением
