Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 181

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 175 176 177 178 179 180 < 181 > 182 183 184 185 186 187 .. 371 >> Следующая

Другие примеры перестановочных многочленов можно получить из приведенных
выше результатов, еслн воспользоваться тем, что множество перестановочных
многочленов замкнуто относительно операции композиции (т. е. если / (х) и
g (х) - перестановочные многочлены поля Fg, то / (g (х)) также является
перестановочным многочленом ноля Fg)- Получаемый при этом класс
перестановочных многочленов описывается следующей теоремой
7.10. Теорема. Пусть Fg -конечное поле, г ? IN, НОД (г, q - I) 1^ и пусть
s - положительный делитель числа ц - 1. Пусть, далее, gfM^FgUl- такой
многочлен над полем Fg, что многочлен g (Xs) не имеет ненулевых корней в
поле Fg- Тогда многочлен f (х) - xr (g (xs)p~~li/s является
перестановочным многочленом поля fg-
Доказательство. Покажем, что многочлен / (х) удовлетворяет условиям
теоремы 7.4. Условие (i) выполняется очевидным образом. Чтобы доказать
(ii), возьмем Z, I i q - 2, и предположим сначала, что t не делится на s.
Заметим, что f (х)* представляет собой сумму членов, показатели степени
которых имеют вид rt4, ms, где т?Х, т > 0. Так как НОД (г, s) - 1, эти
показатели степени не делятся на s и, следовательно, не делятся на q - 1.
Тогда степень многочлена f (х)* (mod (хЯ - х)) не превышает q - 2. Если /
делится на s, скажем / = ks, где k ? IN, то
f(x)* = хf* (g k.
§ 2, Примеры перестановочных многочленов 443
Еслн положить h (х) = xrt, то" так как g (с5) Ф 0 для всех с ?
€ F?" мы получаем, что f (cf = h (с); кроме того, f (0)* = h (0). Тогда
по лемме 7.2 / (х)* = xrt (mod (х? - х)), и так как rt не делится на q -
I, многочлен f (х)* (mod (х? ~~ х}} является многочленом степени, не
большей чем q- 2. П
Из замечания, сделанного после теоремы 7.9, следует, в частности, что
если f?fq[x] - перестановочный многочлен поля Jp? и Ь, с, d ? Fg, с Ф 0,
то /i (х) = cf (х f b) j- d также является перестановочным многочленом
поля f9. Выбирая соответствующим образом константы b, ct d, можно
получить многочлен /х (х) в нормализованной форме. Последнее означает,
что /* (х) является нормированным многочленом и прн этом ft (0) = 0 и,
еслн степень п многочлена /у (х) не делится на характеристику поля F?, то
коэффициент при х""1 равен 0. Таким образом, можно ограничиться изучением
нормализованных перестановочных многочленов. Пользуясь критерием Эрмита,
можно получить все нормализованные перестановочные многочлены
произвольной фиксированной степени. Полный список таких многочленов
степени ие выше 5 приводится в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Нормализованные перестановочные многочлены поля jF^ Ч
q любое q ~ 0 {mod 2) q ф I (mod 3}
(а - не квадрат) q z: 0 (mod 3)
q = 7
a2x (если он имеет в единственный q0 (mod 2)
корень, равный 0)
хп q ф 1 (mod 5)
л5 - ах (а не является четвертой степенью) q ^ 0 (mod 5)
к5 f ах ¦- 2) q : - 9
± 2х2 Я = 7
Xs -j~ ах5 ± х2 -j- 3агх (а - - не квадрат) Я _ /
хь + йх3 + 5"*йгх (а - - произвольный элемент) Я = ±2
хь 4" ах3 + 3йгх (а - - не квадрат) Я - 13
- 2ахэ ф агх (а - не квадрат) q = 0 (mod 5)
Для нечетных q мы можем охарактеризовать перестановочные многочлены поля
fq вида х^+1>^2 4- ах. Для этого обозначим через т) квадратичный характер
поля Fe, удовлетворяющий стандартному условию т] (0) = 0.
X X*
X3
х3 - ах ** ± Зх х4 + аф +
444
Гл. 7, Перестановочные многочлены
7.11. Теорема. Для нечетного q многочлен + ах ?
? [х \ является перестановочным многочленом поля Tq тогда и только тогда,
когда tj (а2 - 1} = 1.
Доказательство. Пусть / (х) - х1$ 1 > 7 -|- ах. Покажем, что
соответствующее отображение / не является взаимно однозначным тогда и
только тогда, когда rj (а* - 1) Ф !. Если для некоторого
с ? Fj выполняется равенство / (с) - / (0) - 0, то а - -
и, следовательно, ц (а2 - 1) 0. Еслн найдутся элементы Ь, с ?
G FJ,* Ь Ф с, для которых / (Ь) =? / (с) ф 0, то
Ьс~х - (а сМ~Х)1~){а |- Ь(л -1У'2) Е.
Если tj ф) - tj (с), то 6<*-4)/2 = и, следовательно, 6
= с,
что противоречит выбору Ь Ф с. Таким образом, Tj (Ь) Ф tj (с).
Не теряя общности, можно считать, что Tj (6) = - !, Tj (г) 1.
Тогда = -1, с(^-1)/2 - откуда
- 1 tj (be_1) - rj ((a -f- 1) - 1Г1) =
>]({" \)(a ¦ \)) - r\(a* - \)>
Обратно, предположим, что ij (a2, - 4) Ф 1, тогда или a2 -
- 1 - 0, или Tj (a2 - 1) - -1. В первом случае получаем,
что
а = ±1, а тогда найдется такой элемент с ? FJ , для которого
с(а-1>/2 _ Отсюда следует, что / (с) = / (0). Если же Tj (а2 -
- 1) = 1, положим Ь - (a Т 1) (а - I)-1. Тогда Tj (6) ~ -1, и, таким
образом, 6(4-о/з - - 1, а следовательно,
f(b) = (а + &(а - 1)6 = а + 1 -/{1),
где 6# 1, В обоих случаях / не является взаимно однозначным
отображением. ?
7.12. Замечание, Покажем, что Tj (a2 - 1) 1 тогда и только
тогда, когда
а --- {с2 + 1) (с2 - I)"1
для некоторого элемента с ф 1. В самом деле, если
Tj (а2 - 1) - 1, то а2 - 1 = Ь2 для некоторого b ? Fj. Отсюда, если с
= (а + 1) 6-1, мы получаем, что с Ф 0, с2 Ф 1 и
(с2 | 1) (с2- I)"1 - [{a -f I)2 + b2]\{a + I)2 - б*]"1 - а.
Обратно, если а - {с2 + 1) (с2 - l)~f, с ? 1FJ, (? Ф 1, то а2 - __1 | __
Предыдущая << 1 .. 175 176 177 178 179 180 < 181 > 182 183 184 185 186 187 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed