Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
k- 1
m sj
П П (x - bs |
/-2 v *
Из (7.15) вытекает, что deg (g) - w, deg (h) - w. Обозначим через gr и
hr, 0 < r •< w> коэффициенты прн xa'"r соответственно в 8 (jc) H h (x).
Пусть G* и #*, 1 t <C w> обозначают суммы /*х
458
Гл. 7. Перестановочные многочлены
степеней всех корней многочленов g (х) и h (лс) соответственно. Тогда из
(7Л6) получаем, что = Ht для всех 1 < t < w. Из формулы Ньютона (см.
теорему 1.75) следует, что
t-i
? Gt-igi + tgt~0 (1 < t < w), (7.17)
i^o
Так как p dA (d) -[ 2 > A (d) w, то коэффициент при gt в (7.17) отличен
от 0. Значит, систему из w уравнений (7.! 7) можно однозначно разрешить
относительно gb ... , gw и выразить
их через ... , GWt а именно g{ - - - Gb g2 ~ (G? - Оз)/2 и т. д.
Аналогично получаем, что k% ~ - Ни hi - {н\ - Я2)/2 и т. д., а так как О*
- Я* для всех ! < t w, то отсюда вытекает, что gr ~ К для всех 0 < г w.
Таким образом, g (х) = h (х), и множество {с,, , сш} должно с
точностью до порядка элементов
совпадать с множеством {bSl.и, ... , bq Это, однако, невозможно, так как
по определению элементы bt отличны от ch. Тем самым мы пришли к
противоречию, что и завершает доказательство теоремы. ?
Предыдущая теорема показывает, что в конечном поле достаточно большой
характеристики свойство многочлена быть исключительным является
достаточным для того, чтобы он был перестановочным многочленом. Определим
теперь, при каких предположениях свойство многочлена быть исключительным
является также и необходимым условием для того, чтобы этот многочлен был
перестановочным.
Утверждение, обратное к теореме 7.27, становится справедливым при
некоторых дополнительных условиях, которые можно получить из теоремы
Ленга - Вейля. Переформулируем эту теорему следующим образом. Пусть через
N обозначено число рациональных точек иа кривой Сф, где ф?Гу(х, у] -
абсолютно неприводимый многочлен, deg (ср) = к. Тогда по теореме Ленга -
Вейля (см. примечания к § 4 гл. 6) справедливо неравенство
| N - q | < (d - i) (d - 2}^/2 -f С (d), (7AS)
где С (d) - некоторая константа, зависящая только от d. Для наших целей
нам понадобится более слабое утверждение, вытекающее из (7.18).
7.28. Лемма. Существует последовательность ku k.2, ... целых
положительных чисел, обладающих следующим свойством: если ф G IF у 1х, у]
- абсолютно неприводимый многочлен и q kdy еде d - deg (ф), то либо Сф
содержит некоторую рациональную точку (а, Ь), афЬ, либо многочлен ф имеет
вид с (у -х) для некоторого с ? F,7.
§ 4. Исключительные многочлены
459
/
!0 Г
Доказательство. Для каждого d ? IN выберем число kd таким чтобы
выполнялось неравенство
q - (d - 1) (d - 2) ц'П - с (d) >d
идя всех q > kd. Тогда если (р - абсолютно неприводимый многочлен степени
d от двух переменных над полем Fy, где q ф kdt то из (7.18) следует, что
Сф содержит по меньшей мере d + ! рациональных точек. Если многочлен ф
отличен от с (у - я), то из его неприводимости следует, что ои ие делится
на у - х и, следовательно, ф (х, х) ие является нулевым многочленом.
Таким образом, кривая Сф пересекает прямую у ; х не более чем в d
рациональных точках. Следовательно, Сф содержит хотя бы одну рациональную
точку (а, Ь), где аФ Ь. ?
Чтобы доказать следующую теорему, воспользуемся приведенными в начале
этого параграфа понятиями алгебраических кривых и их рациональных точек,
а также их связью с перестановочными многочленами.
7.29. Теорема. Существует последовательность целых поло-жи тельных чисел
klf k2, ... , такая, что для любого конечного поля ц порядка q ф kn,
такого, что НОД (п, q) - 1, справедливо еле-ующее утверждение: если f (х)
? fq (х ] - перестановочный многочлен поля If у, deg (/ (*)) = п ф 2, то
он является исключительным многочленом над полем Fy.
Доказательство. Очевидно, что в лемме 7.28 числа къ k2i ... можно выбрать
таким образом, что последовательность kv k2) ... будет неубывающей, т. е.
kt < k2 < ... . Пусть числа kn выбраны указанным образом, и пусть f (х) ?
Fy \х]- перестановочный многочлен поля Fy, удовлетворяющий условиям нашей
теоремы. Если
Ф (х, у) - (/ (х) - / (у))!(х ~~ у) ? Fy [х, у \,
то алгебраическая кривая Сф не имеет рациональных точек, не лежащих на
прямой у - х. Предположим теперь, что многочлен / (х) не является
исключительным многочленом. Тогда многочлен Ос у) имеет абсолютно
неприводимый делитель g (х, у) ? С 1 у (х, yl Еслн g(X, у) - С (у - Х), С
? Fy, то для некоторого h{x% y)?fqvc,y] выполняется равенство f (у) - f
(х) = (у - х)'г h (х, у). Тогда
Г (У) =2 (у - x)h (х, у) + (у - х)2 (дН (х, у)1ду),
о > таким образом, f (х) - 0, а это противоречит тому, что НОД (я, Я) ~ Е
Следовательно, многочлен g (х, у) отличен от с {у - х). Если d ~ deg (g),
то q ф kn ф kd, а тогда из леммы 7.28 вытекает, Что ё (а, Ь) = 0 для
некоторой пары (a, b) ? R, а Ф Ь. Отсюда получаем, чтоФ (а,Ь) - 0 итем
самым приходим к противоречию. ?
460
Гл. 7. Перестановочные многочлены
Если НОД (д, q) >1, т. е. если характеристика р поля Fg делит н, то
