Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
симметрическую группу Sq и ее подгруппы можно представлять в внде групп
перестановочных многочленов.
2 Злк. 243
450 Гл. 7, Перестановочные многочлены
7.18. Теорема. Если ц >> 2, то многочлен х9~3 вместе со всеми линейными
многочленами над полем F(/ порождает группу Sq.
Доказательство. Заметим, во-первых, что r силу теоремы 7.8 все указанные
многочлены являются перестановочными многочленами поля Известно, что
каждую перестановку элементов множества F# можно разложить в произведение
транспозиций. На самом деле достаточно рассматривать лишь транспозиции
вида (0 'а), а ?{FJ, так как любую транспозицию (b с) ? 8Я можно
представить в виде (р с) (0 6) (Ос) (0 Ь). С другой стороны, многочлен
fa М = - а2 [((х а)""2 -f- a-1)?-2 др~2
является представлением транспозиции (0 а) и при этом является
композицией линейных многочленов и многочлена ?
Выбор указанных в теореме многочленов в качестве образующих элементов
группы Sq основывается на том, что они являются достаточно простыми но
форме многочленами. Из выражения для (х) становится очевидным, что
простая форма записи многочлена и простота соответствующей перестановки -
понятия не эквивалентные.
7.19. Теорема. Если q > 2, а с - фиксированный примитивный элемент поля
Fq, то симметрическая группа Sq порождается многочленами сх, х Н- 1 и
х$~2,
Доказательство. Пусть a, b ? тогда а - с\ Ь = с , где s и t - некоторые
натуральные числа, s > t .> I. Утверждение теоремы следует теперь из
равенств
(ах) = (csx) (сх)\ {ах -j- Ь) = (сх)3-1 {х \- 1) {сх)*
и теоремьг 7.18. ?
Развивая дальше этот подход, мы можем найти образующие элементы
знакопеременной группы Aq, которая является подгруппой группы Sq)
образованной всеми четными перестановками. Далее будем называть
перестановочный многочлен поля fq четным, если соответствующая ему
перестановка элементов Fq является четной.
7.20. Лемма, Пусть a?fq , гдеу > 2. Тогда многочлены х + а и (д^~~2 +
а)*-2 всегда являются четными перестановочными многочленами, а многочлен
ах является четным перестановочным многочленом тогда и только тогда,
когда элемент а является квадратом
некоторого элемента из Fy, Кроме того, многочлен хч~2 является четным
перестановочным многочленом тогда и только тогда, когда q = 3 (mod 4).
§ 3. Группы перестановочных многочленов
451
Доказательство. Перестановка, соответствующая многочлену v i а,
разлагается на ре~1 циклов длины р, где q = ре, а р - .характеристика
поля fg- Тогда если либо р нечетно, либо q - '2е л е > Е то многочлен х Н
а является четным перестановочным
многочленом. Так как
{(аУ~2 -j- а)^-'2) =- (дУ 2) {х -f- я) (лУ~2),
то многочлен (лУ"2 j- df~2 является четным перестановочным многочленом,
Далее* многочлен ах индуцирует перестановку элементов поля тогда и только
тогда, когда а Ф 0; в этом случае (ах) -¦ {cx)s, где с-примитивный
элемент поля Fg, а а с5. Перестановка, соответствующая многочлену сх,
является циклом длины q- !. Тогда условие четности многочлена ах следует
из сказанного выше и того, что каждый элемент поля IF
j *
является квадратом.
Если взять многочлен дУ~2 и рассмотреть соответствующую перестановку, то
ее можно разложить на ненересекающнеся транспозиции, содержащие все
элементы поля Fg, кроме 0, 1 и - !. Таким образом, эта перестановка
разлагается на {q - 3}/2 транспозиций, если q нечетно, и на (q - 2)/2,
если q четно. ?
Определим теперь следующие классы перестановочных многочленов поля Fg для
q > 2:
Lg= \ах~\ b\a?ff, b?fg\,
AL4= {a2x -f b | a ? FJ, b ?
te
<?
1ждое из этих множеств образует группу относительно операции композиции
многочленов с последующим приведением по модулю х* - х. Эти группы имеют
следующие порядки: j Lq | - q (q - !}, ALq | -- q (q - i)/2 для нечетных
q, | ALq \ = q (q - i) для четных q я \Qq\ - q. Группа Qq изоморфна
аддитивной группе п<>ля F7. Нетрудно доказать следующую теорему.
7,21, Теорема. Пусть q > 2, и пусть с - фиксированный примитивный элемент
поля Та. Тогда
0) группа порождается многочленами сх и х + 1;
(ii) группа ALq порождается многочленами (fx и х -j !;
(iii) знакопеременная группа Ач порождается своими подгруппами ALq и Qq\
{iv) знакопеременная группа Aq порождается многочленами
Г X, X -j - | и 2 Д. | 3
Если дан класс перестановочных многочленов поля Fg, замкнутый
относительно операции композиции, то можно задаться (r)опросом, какую
подгруппу симметрической группы Sq представ-
О*
452
Гл. 7. Перестановочные многочлены
ляет данный класс. Сначала изучим множество Р (а) (а - фиксированный
элемент поля iFg) всех многочленов Диксона gk (х, а), которые являются
перестановочными многочленами поля fqt Тогда
P(0)^\gk(x> 0)\km ПОЦф, q 1)-!},
P (a) = \gh (x, a) | k ? IN, НОД (k, ф I} - I} для аф 0.
7.22. Теорема. Множество Р (а) замкнуто относительно операции композиции
многочленов тогда и только тогда, когда а 0, t или - 1.
Доказательство, Если а ? Fr/, k, m?lN, то
по (7,8), а тогда
gkm(x, a) = gk(gm(xt а), ат). (7,10)
Когда а ф 0 и Р (я) замкнуто относительно операции композиции
