Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
по модулю xf х. Эта группа известна как группа Бетти - Матье' Приведем
без доказательства следующую теорему.
7.24. Теорема. Группа Бетти - Матье изоморфна общей линейной группе GL
(г, Fg), образованной невырожденными г X г-магприцами над поАвм F?
относительно операции умножения
матриц.
§ 4. Исключительные многочлены
При изучении перестановочных многочленов, можно воспользоваться
некоторыми геометрическими идеями. Преимущество, которое мы получаем от
такого подхода, состоит в том, что появляется возможность применять очень
сильную теорему Ленга - Вейля (см. комментарии к гл. 6). которая дает
оценку для числа рациональных точек на абсолютно неприводимой кривой,
заданной иад конечным полем.
Пусть дай многочлен [??qix] степени 1; образуем многочлен от двух
переменных
Ф <*, у) - Щ-Ш,
имеющий степень d - 1. Пусть В X Е -¦ прямое произведение двух
экземпляров алгебраического расширения Е поля F<r Определим
алгебраическую кривую Сф над полем fq как подмножество множества Е X Е
вида
^ \(а, Ь)?Е х Е | ф (я, h) = 0|,
где "р of q [х, у J - ненулевой многочлен от двух переменных над полем
fq. Точка (а, b), лежащая на кривой Сф, называется рациональной точкой,
если элементы а и Ь принадлежат Ffl-Разумеется, число рациональных точек
на кривой всегда конечно, так как множество ?q X Fa само конечно.
Используя введенные выше обозначения, получаем, что многочлен f (х)
является перестановочным многочленом поля ?q тогда и только тогда, когда
Сф не содержит рациональных точек, лежащих вне прямой у = х.
Напомним, что для любого поля К элементы кольца К (х, у I единственным
образом разлагаются на неприводимые многочлены и что многочлен
положительной степени из К 1х, у 3 называется абсолютно неприводимым,
если он неприводим над любым алгебраическим расширением поля К¦
456 f".i. 7. Перестановочные многочлены
•4*
7.25. Определение. Многочлен / (л) ? FqEx] степени d > 2 называется
исключительным многочленом над полем Fq, если ни один неприводимый
делитель многочлена
Ф(*. У) = !{xlJy{y) €iF,lx. у]
:ь
•:й
не является абсолютно неприводимым.
Иными словами, многочлен / (х) является исключительным многочленом над
полем ;Fq, еслн каждый неприводимый делитель многочлена Ф (х, #)?fqU, у J
допускает нетривиальное разложение на множители над некоторым
алгебраическим расширением поля fq. 1
Следующая теорема устанавливает связь между перестановоч- | ными и
исключительными многочленами. Отметим сначала (без до- J казательства),
что любой исключительный многочлен является ( "почти перестановочным"
многочленом в следующем смысле.
7.26. Лемма. Пусть /(x)?Fq[x] является исключительным % многочленом над
полем Ff/ степени d, и пусть через V (/) обозначено | число различных
элементов в множестве {/ (с) | с ? Fq} значений, которые может принимать
этот многочлен. Тогда V (/) q - - A (d), где A (d) - константа, зависящая
только от степени d многочлена f (х).
7.27. Теорема. Пусть Fg - поле характеристики р, a f (х) - исключительный
многочлен над полем fq степени d, причем р >
i
S|jV
<r%
?
>B(d). где В (d) - некоторая константа, зависящая только от d. Тогда
многочлен f (х) является перестановочным многочленом поля Fq.
Доказательство. Используя обозначения леммы 7.26, можно представить V ({)
в виде V (f) = q - w, где 0 да < A (d). Для | доказательства теоремы
достаточно показать, что w - 0. Допустим, что w I. и покажем, что в этом
случае мы приходим к противоречию.
Пусть различными элементами в множестве значений, которые принимает /
(х), будут элементы Ьи Ь2, ... , bq_wt и пусть оставшиеся элементы поля
Fq - это щ, с2, ... , cw. Для i == !, 2, ...
..., q - w обозначим через 1щ число решений уравнения f (х) - bt
в поле Fg; тогда 2 ¦= q. Кроме того, > ! для любого
i= 1
I - L 2, ... , q- ш, а значит,
mt < w -f 1 (i - 1, 2, ... , q - ш). (7ЛЗ)
В то же время для t ~ !, 2, ... f w получаем
'•г
§ 4. Исключительные многочлены
457
Если р > В (d), где В (d) dA (d) -f 2, то справедливы соотио-шения q - 2
> р - 2 > dA (d) > а тогда для всех / 1,
2 ... * w можно записать
В силу леммы 7,3
2. ж'
с б If (/
2? Т' ? ^ = 0.
¦/=0 с?Г<1
Таким образом,
Q-W
2 тМ - О
(=-1
(t 1*2, ...} ш).
(7.14)
Положим т " ; max (т{ tnq"w)\ тогда из (7.43) получаем, что
1 < т < w + Е Если через s;, 1 < / < m, обозначить число таких mf, для
которых mt- j, то Sj -f + Sm - Я - w и
яг
?-ш
? (/ - 1)Sj = ? т,
т
?ь = я ~ (ч - w) = ю'- (7'15)
/=1 0=1 /=1 Перенумеруем элементы ... , bq_w таким образом, что mL
-- I, tns^~j-1 - = tns^s? -2, ... , Ш3)4- , +s^ ,
f 1
^ ms,+ -4-s - /п, тогда
i * •4 4 1 m.
формула (7.14) принимает вид
m
st-f ...
At = ? / ? bl = о
;-i i=Sj+-* +^_д+ ^
Отсюда вытекает, что
(t - lf 2, .. iw).
m
л=1
с E
Так как 1 < / < ш ^ rE4 (d) -< q
вательно
Sj+^' + Sy
,? (/-!)._,? ^
/-I "¦¦¦ stH-
-2, to 2,^ - 0, и, следо
Ш
m
5jH ^~sj
?
? <4 = ? (/ -1) ? M-
fe'-'1 ^=2
Рассмотрим далее два многочлена
(7.16)
W
g (*) ^ П (x - си), h (x)
