Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
(i) многочлен f имеет ровно один корень в Fg;
(ii) для каждого целого i, такого, что 1 < / < g - 2 и t ф 0 (mod р),
результат приведения многочлена f (х)( по модулю хл - х имеет степень d -
У Я - 2.
Доказательство, Пусть f - перестановочный многочлен поля F4. Тогда
необходимость условия (i) очевидна. Приводя многочлен / (х)^ по модулю х?
~~ х, получаем некоторый многочлен
я-!
? Ь/Пх*, где b{q% = - ? / (с)* по (7.1). По лемме 7.3 bql\ ^0
У-о С?Гч
для всех t - I, 2, ... , q - 2, откуда следует условие (ii).
Обратно, пусть выполняются условия (i) и (ii). Тогда нз условия (i)
следует, что ? f (^~! - -1, в то время как из условия
440
Гл. 7. Перестановочные многочлены
(ii) получаем, что 2 / (су -- 0 для всех t, t ф 0 (mod р), I <
С € ft q
/<!</ - 2. Из равенства
S /(O'"*
е ? IF//
( Е /00"'
Ueir. /
получаем, что 2 / (СУ ¦' 0 для всех I < ^ < q - 2; в то же время
"ег,
для t - 0 это равенство очевидно. Тогда из леммы 7.3 следует, что /
является перестановочным многочленом поля рч.
7.5. Следствие. Если число d > 1 является делителем числа ц - I, то над
полем f 9 не существует перестановочного многочлена- степени й.
Доказательство. Если / ? {рг/ |лг] и deg / - d, то deg (/(g-пл*) - - <7-
1, н тогда дЛя t - (q- I)!d условие (ii) теоремы 7.4 не выполняется,
?
Из доказательства теоремы 7.4 очевидно, что если многочлен / 6 F? 1х]
является перестановочным многочленом Поля F,, то условие (ii) теоремы 7.4
выполняется и без ограничения t Ф 0 (mod р). Условие же (i) может быть
заменено другими, например, как в следующей теореме,
7.6. Теорема. Пусть поле р, имеет характеристику р. Тогда многочлен
/6р91х] является перестановочным многочленом поля f, в том и только том
случае, если выполняются следующие два условия:
(i) многочлен fiх)*-¦ (mod (л^ - х)) имеет степень ц-,1;
(ii) для любого целого U где 1 < р - 2 и i ф 0 (mod р), многочлен f (х)'
(mod (х$ - х)) имеет степень d q - 2.
Доказательство. Необходимость условия (ii) следует из теоремы 7.4. В
обозначениях, используемых при доказательстве этой теоремы, получаем, что
!"= - S НО* '-
с€ГЯ
Тогда если / - перестановочный многочлен поля р9, то 6^° =- I, и, таким
образом, условие (i) выполняется.
Обратно, пусть условия (i) и (ii) выполняются. Тогда, как и в
доказательстве теоремы 7.4, из условия (И) следует, что
2 f (с)* - 0 для всех 0 < t < q - 2, в то время как из условия
§ 2, Примеры перестановочных многочленов
441
(i) вытекает* что ? f (с)9(tm)1 Ф 0. Таким образом, многочлен
-р- it 1
g(x)=-?/ 2 f(cy -' i\xi
'=° О € г, /
является ненулевым и постоянным. Если бы многочлен f не являлся
перестановочным многочленом поля Fg, то, рассуждая аналогично тому, как
мы рассуждали при доказательстве леммы
7.3, можно было бы показать, что g (Ь) - 0 для некоторого b ? ? fq, что
невозможно. ?
Еще один критерий того, что данный многочлен является перестановочным
многочленом, можно получить, используя понятие аддитивного характера
конечного поля (см. § I гл. 5).
7.7. Теорема. Многочлен f?fq[x] является перестановочным многочленом поля
Fg тогда и только тогда, когда
2 X (/ О) ¦"= 0 (7.2)
IF,
для любого нетривиального аддитивного характера % поля fq.
Доказательство. Если f - перестановочный многочлен поля Fq, а х -
нетривиальный аддитивный характер этого поля, то по формуле (5,9)
? х<:/(¦)) ? ум) -о.
? Г1#
Обратно, если через Хо обозначить тривиальный аддитивный характер ноля Fq
и считать, что равенство (7.2) выполняется для всех % Ф Хо, то для любого
а ? fq число N решений уравнения I U) - й в поле fg определяется в силу
(5.10) равенством
n =ф 2 1+т 2 2'¦
? ? ff q X Х^Хо с ^ IF q
Следовательно, многочлен / является перестановочным многочленом ноля fq.
?
ш
§ 2. Примеры перестановочных многочленов
Несколько простых примеров перестановочных многочленов можно получить с
помощью следующих элементарных результатов.
7.8. Теорема. (1) Каждый линейный многочлен над полем является
перестановочным многочленом поля Fq-
(ii) Одночлен хп является перестановочным многочленом поля ifq тогда и
только тогда, когда НОД (я, q - I) = I.
442
Гл, 7. Перестановочные многочлены
Доказательств. (1) очевидно, (ii) Одночлен хп является пере-становочньш
многочленом поля F,, тогда и только тогда, когда отображение /: с сп, с ?
является отображением "на", а это имеет место тогда н только тогда, когда
НОД (я, q J) = !. (надо использовать теорему 1.15 (ii)). ?
7.9. Теорема. Пусть fq - поле характеристики р. Тогда р-многочлсн
т
L (х) = 2 atxpi € F? [х]
1=о
является перестановочным многочленом поля Fg в том и только том случае,
если многочлен L (х) имеет в поле Fg единственный корень, равный 0.
Доказательство. Из рассуждений, приведенных после определения 3.49,
следует, что функция L: с*-* L (с), с ? Fg, является линейным оператором
в Fg (рассматриваемом как векторное пространство над полем Fp)- Тогда
отображение L является взаимно однозначным в том и только том случае,
если многочлен L (х) имеет в поле Fg единственный корень, равный 0,
