Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 176

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 371 >> Следующая

удовлетворяет
равенству 05 = 0s S •
6.21. Доказать лемму 6.24 тем же способом, который применялся для
доказательства леммы 6.31.
6.22. Доказать, что еслн / - квадратичная форма от д>3 переменных
над полем Fg" то уравнение / - 0 имеет в Fg хотя бы одно
нетривиаль-
ное решение. Доказать также, что условие я > 3 не может быть заменено
условием п 2.
6.23. Пусть f ? Fg [xlr ..." xR] - ненулевая квадратичная форма н Ь С Ff*
Доказать, что уравнение f (xv .,,, хп) Ь имеет решение в Fj, если (i) q
четйо
Упражнения
419
нлн (ii) q нечетно н ранг матрицы коэффициентов квадратичной формы / не
меньше 2.
6.24. Доказать, что две невырожденные квадратичные формы f, g ? €F$ [я,,
.... xn) при нечетном q эквивалентны тогда и только тогда, когда r\ (det
(/)) = Я (det (g)), где tj - квадратичный характер поля F?* (Указание.
Использовать лемму 6.20 и упр. 6.23).
6.25. Пусть F? - конечное поле нечетной характеристики. Доказать, что все
невырожденные квадратичные формы / ? Fg ха], для которых уравнение f
(х1(х*) - 0 имеет нетривиальное решение в FJ, эквивалентны друг другу.
6.26. Пусть - конечное поле нечетной характеристики. Доказать, что каждая
невырожденная квадратичная форма / ? Fg [хг, ..., хп] при нечетном п
эквивалентна квадратичной форме х±хг + хэх4 + ... + Xn-2*n-i 4~ йх" для
некоторого а ? Fg, а при четиом п эквивалентна квадратичной форме *iXa +
+ *3*4 + ... -f *п_з*п-2 -f -f ax^ для некоторого a ? f*.
6.27. Пусть f-невырожденная квадратичная форма над полем Fg нечетной
характеристики от четного числа п переменных и пусть det {/) = Д.
Доказать, что для каждого нетривиального аддитивного характера % поля Fg
справедливо равенство
23 X (/(<*. .... сп))=* if/2ri((-1)п/2 Д)> cv " * cn€Fg
где tj - квадратичный характер поля F9.
6.28. Пусть условия те же, что и в упр. 6.27, только число п иечетио.
Доказать, что
23 Xifib* сп)) =qin~l)/2r\((-t)in~lu2&)G(r\t х)г
ri ^nCFg
где G - сумма Гаусса.
6.29. Пусть f- невырожденная квадратичная форма от нечетного числа п
переменных иад полем Fg характеристики 2. Доказать, что для каждого
нетривиального аддитивного характера % поля Fg справедливо равенство
23 %(f (с1"
с1* ¦ ¦ *' cq € Fg
6.30. Пусть f - невырожденная квадратичная форма от четного числа п
переменных надполем fg характеристики 2. Доказать, что если % -
нетривиальный аддитивный характер поля то имеет место соотношение
23 1, .... cn))=;zqn?2t
Cl C7t 6 Fg
в котором e принимает значение I, если f эквивалентна квадратичной форме
ед ф- *3X4 4- ... + Xn.iXft, н значение -1, еслн f эквивалентна
квадратичной
форме xtx2 4- х^х4 4- ... 4* х\_х 4- axj для некоторого а ? f та-
кого, что Trr (а) - I.
q *
6.31. Пусть Оо, Ьо ? Fg, где q нечетно, и пусть аъ ..., ап ? Fg, blt ...,
Ьп ?
€ Fg, где bt Ф 0 хотя бы для одного f, I < i < п. Обозначим через N число
решений в SF" системы уравнений
j + * * ¦ + ?*пх^ = л0,
( 6jXj 4" * * * 4~ ^71*71
27*
420 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Положим а = аг ,,. ап, Ь ~ Ь1 4 ... + Ь2пап 1 н с = b\ - аиЬ. Доказать,
что еслн Ъ Ф 0 н с - 0, то
( ф~2, еслн п четно,
N^1 4
\яп~
2 + Фп Ъ^'г{Ц - О 'П ((-если п нечетно,
где rj - кяадратнчный характер поля F^.
6.32. Пусть N - чнсло, определенное в упр. 6.3 L Доказать, что еслн Ь ф О
н с ф 0, то
( ^1"2 -Д Я^п~т] ({-Г/^2 ас), - еслн п четно,
^ <(L~<1-q(n~^'2 ц{{ -\){п~^г2 ab), если п нечетно.
6.33. Пусть N то же, что н в упр. 6,31. Доказать, что если Ь - с - 0,
то
^ qn~2 Д- о (а0) ((~1}п/2 а), еслн п четно,
2 ^ ((~-[)^"1)/2а0й)! еслн п нечетно,
iV = { 4
\ яп~2
где v - функция, введенная определенней 6.22.
6.34. Пусть N то же, что н в упр. 6.31. Доказать, что если b - 0 н с Ф О,
то N - qn~2,
6.35. Пусть Fq - конечное поле нечетной характеристики, а0> ? Fq н
av an> ^v Ьп ? Обозначим через N чнсло решений в Т2п системы
уравнений
йА -I -г апх2п - я",
&хххУх 3- I - Ьпхпуп = 60.
Ч
Положим а = аг ... яп. Доказать, что
Ъь-2 , ч t iw./f. \ "п-2
iV =
q (у д 1) v (&0) q Д
Д v (а0) ^<3п'-4>/2т) {(- 1)п/2 а), еслн п четно,
д2п-\ ^ ^ ^ ^ v ^
_j, q№n~з)/2^ I)/2 йой) еслн п нечетно,
где т] - квадратичный характер поля F^, a v - функция, введенная
определением 6.22.
6.36. Пусть &!, ..., Ьп - различные элементы конечного поля н а, b ? F^.
Доказать, что число N решении в F2/t системы уравнений
ххУг Д * * * Д хпУп ~
^1ххУх Д ' ' ' Д ^пхпУп " ^
задается формулой
п
Лг = q*n~l + f-S (q - I) 2"(6_в*г) +
Д f~2 (v (а) V (Ь) Д V (а) Д v {&}), где о - функция, введенная
определением 6.22.
Упражнения
421
6.37. Пусть Fp - конечное поле нечетной характеристики, с ? Г?. и
а,
bf с, d ? Fp. Доказать, что число N решений уравнения ахf+ bx22Ar сх\
-
2
= 2dx1x2xz + е в Fi? задается формулой
N - ?2 + I + ? (а) + 13 (?>} + ri (с) + ri (е) ] r\ (d?e - abc},
где т] - квадратичный характер поля Fp.
6.38. Пусть Ь - элемент конечного поля fq, alt ат ? Fp и п = fcm, где k,
т ? N. Доказать, что число N решений fe-линейного уравнения
... Xft. -j-*2Xft+l ... x2ft -j- . •. -j-amxn_ft+i ... xn ~ b в Fp
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed