Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
(за некоторыми тривиальными исключениями) урав- ':^lj
4 \У
2- 'Л<> &
П
Комментарии
415
нений вида г1П - F {х, у) + b над простым полем Fp, где F - однородный
многочлен и Ь ? FJ. В статье Mordell [7Г получена оценка N - рп~~1 + О
для полиномиальных уравнений
от п *< 4 переменных над полем FP, образованных линейными комбинациями
элементарных симметрических многочленов. В статье Mordell [14] получена
оценка N - рп~1 + О (рл/2) для уравнений, близких к диагональным, над
полем Fp с любым числом п переменных, Перельмутер и Постников [1]
рассмотрели
k к
уравнение вида {у) + Д {у) х,1 + ... + /в {у) хпп = 0 над простым полем
Fp и показали, что при определенных условиях на /0, ..., /" имеет
место оценка А - рп + О (р"/2); см. обобщение
этого результата в книге Schmidt W, М. [3, ch. 4].
Оценки Ленга - Вейля и Делиня для числа точек на многообразиях можно
использовать для установления некоторых результатов о распределении
решений уравнения / (*i, ..., = О
или системы таких уравнений (см. Chalk, Williams [1], Myerson
[4], Smith R. A. [2J и Williams K. S. [18]). Об общем принципе, лежащем в
основе доказательств таких результатов см. Mordell [22] и Chalk [2].
Дальнейшие результаты о дзета-функциях многообразий можно найти в
следующих источниках: об абелевых многообразиях см. Shimura, Taniyama [2,
ch. 4] и Waterhouse, Milne [I.]; о случае кубических поверхностей см.
Swinnerton-Dyer [2] и Манин [4, гл. 41; о гиперповерхностях уравнений у%
- f (хг, ..., яп) и ур - у - f (хь .... хп) над FP см. Перельмутер [4]; о
гипер-
k К
поверхностях уравнения ур - у - /0 (*) + h (*) ^i1 + ••• + /п W хпп над
F? см. Кузнецов В. Н. [11; см. также Bayer, Neukirch [1], Dwork [4],
[10], Schneider [I ], Swinnerton-Dyer [1] и Taniyama [1]. Полезные
сведения из теории дзета-функций можно найти в работах Mazur В. [1] и
Thomas [I]. Кац (Katz [2]) и Коблнц (Koblitz [ 1 ]) изучали поведение
дзета-функции на семействе многообразий. В статье Curtis [11 обнаружена
связь между дзета-функциями многообразий и теорией характеров некоторых
конечных групп. В статье Spackman [[] дается элементарное доказательство
предположений Вейля для многообразий, определяемых парой диагональных
уравнений. В статье Haris [1] отмечена связь между результатами Дворка,
касающимися предположений Вейля, и абстрактными формулами Пуассона. Ленг
(Lang [2]) изучает связь между точками на многообразиях над конечными
полями и точками на многообразиях иад полями алгебраических чисел.
Дальнейшую информацию об абсолютно неприводимых многочленах можно найти в
работах Fredman [2], Schmidt W. М. [3, ch. 5] и Williams К- S. [3].
Теория дзета-фуикций многообразий может быть расширена до теории L-
функций. Эти функции играют ту же роль для оценки
s"*1 ,3
416 Гл, 6. Уравнения над конечными полями
•ft?
С, c,i\\h S x<s) (/(Qs))>
где Qs пробегает все точки многообразия V с координатами из IF.
(соответственно. [Г^-раЦиоиальиые точки многообразия V в проективном
случае), а / - регулярная функция на V, так что / (Qs) Q ? fgS Для всех
точек Qs, например, /- многочлен над Соответствующую L-функцию определим
равенством
ос
Тот факт, что /,-фуикции тоже являются рациональными функциями, был
впервые доказан Гротендиком (Grothendieck [2],
[3]); см. также Bombieri 13], [4], Dwork [9], Hooley [6] и Перельмутер
[6]. При подходящих ограничениях на V н / снова можно сформулировать
предположения Вейля. Некоторые из них, например касающиеся
функционального уравнения и разложения Т-фу нкцнй, доказаны Гротендиком
(Grothendieck [2],
[3]); по поводу случая L-функций, связанных с полями алгебраических
функций над Тд, см. Weissinger [I]. Аналог гипотезы Римана - Вейля был
доказан лишь с помощью результатов Делиня (Deligne [3], [4], [6]). Обзор
результатов Делння имеется в статьях Katz [4] и Serre [3]. Дальнейшие
результаты по /,-функциям можно найти в работах Adolphson, Sperber [ 1 ],
Bombieri [7], Hooley [6], Laumon [1] и Sperber [1], [3j. Аналогичную
теорию можно развить также и с помощью мультипликативных (а не
аддитивных) характеров, а также для гибридных тригонометрических сумм
(см. Katz [4], Serre [3] и Перельмутер
[3]). Значение этих результатов для оценки тригонометрических сумм
обсуждалось в комментариях к § 4 и 5 гл. 5.
[Различные диофантовы уравнения в конечных полях рассматривались в
работах Orzech [1*3, Small [1*] и Snapper [1*3-Спэкман (Spackman [I* j)
получил рекуррентное соотношение для последовательностей, связанных с
числом решений некоторых диагональных уравнений, и усилил результаты,
полученные в работе Myerson [4J. Хеллесет (Helleseth [!¦*]) установил
связь между одной задачей теории кодирования и проблемой Варинга в
конечном поле. Стор и Волох (Stohr, Voloch [1*]) получили новое
доказательство оценки Вейля (Weil А. [2 3) для числа рациональных точек
на кривой методом, аналогичным
сумм значений характеров, какую играют дзета-фуикции для оценки числа
точек на многообразиях. Пусть V - аффинное или проективное многообразие
