Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
нмеет внд я - тр* - 1, где 1 < пг с р н / > 0.
)
6.63. Доказать, что натуральное чнсло k удовлетворяет условию НОД *
1 для всех я, к п <С 2kf в том и только том случае, еслн к = р* для
некоторого простого числа р и / ^ 0.
6.64. Доказать, что еслн Fg - поле нечетной характеристики и A f М,
то уравнение у2 = х2к имеет 2q- 1 решений в F^. (Указание.
Воспользоваться
тем, что многочлен у2 - x2k не является абсолютно неприводимым).
6.65. Доказать, что для поля F?, где q н 3 (mod 8), уравнение у* - 2х* +
+ 4х2 Н~ 2 не нмеет решений в F|. (Указание, Воспользоваться тем, что
миогочлен уг - 2х4 - 4х8 - 2 является неприводимым, но не абсолютно
неприводимым иад Fд.)
6.66. Доказать, что еслн m?NHf?Ftf|x] - такой многочлен степени k > 1,
что НОД (m, Jfe) - 1, то многочлен у- / (х) абсолютно неприводим.
424
Гл. б. Уравнения над конечными полями
6.67. Обобщить теорему 6.57 следующим образом. Пусть т ? IN, f ? € Fg \х3
- многочлен положительной степени, н пусть
/ (х) = а (х - ах)?1 ... (х - Odfd
- разложение многочлена / в его поле разложения над Fg, где аи -
различные корни /. Положим, t - НОД (/n, q - 111 и D = НОД (it еъ б,/},
и пусть
г-число корней а^ принадлежащих полю F?. Тогда число N решений урав-
нения Um ~ I {х) в F" удовлетворяет неравенству
ч
I ~ Dq + (П - 1} г \ ^ (f -?>} (d - 1)
если элемент а является D-й степенью некоторого элемента из Fg,и/V - гв
противном случае.
6*68. Теорема Дирихле об одновременной аппроксимации утверждает, что для
произвольных действительных чисел tu tn существует такой (п 1)*
набор {s, mlt ..., тп) ? Zn1 с произвольно большим числом 0, что для всех
i,
1 ^ i ^ п, выполняется неравенство | ^ - (т^/д) 1 < s Применить эту
теорему для доказательства следующего утверждения: еслн <вх, ..., шп-
комплексные числа, то для любого е > 0 существует бесконечно много
натуральных чисел s, таких, что
Re(e>fH 1-ю(r))><1 ~"е) (|wif + +|(r)п Г)'
6.69. Дать другое доказательство леммы 6.55, использовав результат упр.
6.68.
8.70. В условиях теоремы 5.36 доказать, используя теорему 5.37, что для
каждого е > 0 существует бесконечно много натуральных чисел s, таких, что
Я X'S) (/ (7))
ver
>(1 - г) (n-l)q
s/2
8.71- В условиях теоремы 5,39 доказать, используя теорему 5,40, что для
каждого в > 0 существует бесконечно много натуральных чисел s, таких, что
2 ?s}(f(l)) >(i~e){d-l)gs/2
8.72, Пусть Fg-конечное поле, als йа, Ь2 ? Fg, причем ахЬ^фафъ
н m, nti, т2 - натуральные числа. Доказать, что число N решений в Fg
системы уравнений
= +& jxJ\
х"1* = % + b2x з
Ч
удовлетворяет неравенству j .V^ | ^ Сд ; > где С-некоторая константа, не
зависящая от q.
6.73. Доказать, что если Xi - канонический аддитивный характер поля Fg,
где q -¦ 2s, то сумма Клостермана К (Хь Ь 0 задается формулой
1
т
к (Xi; U i)
я
[(_! + ; K7)s + (-l-i \ГШ
Вывести отсюда, что ! К (Xi: П 0 ! ^
Упражнения
425
6.74. Доказать, что еслн Е - конечное расшяренне поля Гд, то число N
элементов v € ?*> таких, что Тг^уцр (у) = fv-i) - задается форму-
лой
Н = 4г ? К^ца.Ь),
4 "' 'ег,
где Pi - канонический аддитивный характер поля ? н К - сумма Клостермана.
6.75. Доказать, что если ? = Fq, где q = 2s, то число N элементов -у ?
?*, таких, что Tf? (у) = Тг? (у"1) - 0, задается формулой
N
= [? _ э - ± (-1 + i Vlf - J- (-1
_ i Vi)'].
I
6.76. В условиях теоремы 5.43 доказать, используя теорему 5.44, что для
каждого е > О существует бесконечно много натуральных чисел а, таких, что
U(xts); а, Ь) |>(2-е)?5/2..
I
ББК 22.144 Л55 УДК 512.62
Лидл Р., Нидеррайтер Г,
Л55 Конечные поля: В 2-х т. Т. 2. Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 822 с.
ISBN 5-03-000066-6
Монография известных математиков t Австралия, Австрия), отражающая
многочисленные связи классического раздела алгебры - теории конечных
полей - с комбинаторикой, теорией кодирования, теорией автоматов.
Изложение отличается простотой и ясностью, большим числом (около 600)
примеров и упражнений, имеются замечания исторического характера. Книга
входит в известную энциклопедию математики и ее приложений (под редакцией
Дж. - К. Роты); ряд ее томов переведен в издательствах "Мир" и "Наука".
Русское издание выходит в двух томах.
Для математиков-прикладников, инженеров-исследователей, аспирантов и
студентов университетов,
" 1702030000-274
041 (01)-88 8-88> ч- 1
ББК 22.144
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-000066-6 (русск.)
ISBN 5-03-000064-Х ISBN 0-20М3519-1 (англ.)
Cambridge University Press 1985 This book originally published in the
English language by Cambridge University Press of Cambridge,
перевод иа русский язык, с дополнениями, "Мир", 1988
Глава 7 Перестановочные многочлены
4
Задача этой главы - дать обзор результатов о перестановочных многочленах,
т. е. таких многочленах, для которых соответствующие полиномиальное
функции являются перестановками множества элементов дацного конечного
поля Fg. Многочлены такого вида существуют для любого Fg> так как любое
отображение поля в себя можно задать с помощью некоторого многочлена.
