Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 177

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 371 >> Следующая

задается формулой
N = /-> + ir (А) <Г~[ [/"' - (,- l)fe-']m,
где функция v вводится определением 6.22.
6.39. Доказать, что уравнение xf + х\ + = 0 имеет ц1 решений в
F(r).
6.40. Доказать, что уравнение х\Б -j- х\2 + xf +¦ xJB - 0 имеет
ре-
шение в Fti-
6.41. Доказать непосредственно, что если НОД (кя, q- I) ~ I для неко
торого t, то диагональное уравнение (6.10) имеет qn~~l решений в Fp.
6.42. Доказать, что для простого числа р, такого, что р = i(mod 4), число
N решений уравнения х\ -j- х\ - 1 в Fp задается формулой
[ р - f + 2Л, если р = 1 (mod 8),
N = \
[ р - I - 2А, если р н 5 (mod 8),
где А - однозначно определенное целое число, удовлетворящщее условиям А =
- I (mod 4), р - А2 + В2 Для некоторого В ? Z.
6.43. Доказать, что для q s I (mod 6} и b ? Fp число N решений
уравне-
ния х\ -j- xf - b в F^ задается формулой
N - ц + 2ц (b) Re [k (b} J (т), A,) ],
где ц- квадратичный характер поля Fg, k - мультипликативный характер
этого поля порядка 3, а ] - сумма Якоби.
6.44. Доказать, что для ц = 1 (mod 4) и Ь ? Fq число N решений уравнения
х\ + х\ - Ъ в Fp определяется формулой
Г ц - 3 + 2 Re [(2ф(?>) +1| (b)) J (ц, ф)], еслн ^=](mod8),
\ qA- 1 + 2 Re [(2ф (b) - ц (b)) J (т|, ф)], если 0 = 5 (mod 8),
где 1} - квадратичный характер поля Fp, а ф- мультипликативный характер
порядка 5 этого поля.
6.45. Пусть Fp - конечное поле характеристики р, q = ре н k - заданное
натуральное число. Доказать, что каждый элемент поля Fp представйм в
виде
суммы k-x степеней элементов этого поля в том и только том случае,
если к не
делится на число (ре - l)i(pd ~~ l), каким бы ни был делитель d числа с,
1 < < d < е.
6.46. Вывести из результата упр. 6.45, что при q > (k ~ i}2 каждый
элемент поля Fp может быть представлен в виде суммы k-x степеней
элементов этого поля.
422 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
8.47. Для целого числа $>¦ 1 пусть |3 ? Е ~ F Р ф Frt. Доказать, что
if Я
уравнение
+ ... + ^ р>
где аь ..., ап - элементы поля Fp, не имеет решений в Еп.
6.48. Доказать, что при - ... ¦= dn т~ d имеет место равенство
M(dt da) ^ -1)"-1 - (-t)"-'],
где М (йг, dn) обозначает число л-наборов (Д,jn) ? Zn, таких, что I <; <
it < dt - I для 1 < г < ч и (/xMj) + ... Н- (fjd-n) ? 2.
6.49. Доказать, что если число Мь определено равенством (6.15) н z-
комплексная переменная, то функция
/ (Х5
I (г) = exp I 2 (JV./S) г5
\ 5=1 )
является рациональной, Здесь
<Х>
к
ехр (2) = J (№)г показательная функция.
6.50. Доказать, что еслн Л4, $ = 1,2, - такие комплексные числа,
что
фу икция
? (*) = ехр ( 2 (ЭД zs )
\ S- 1
рациональна, то эти числа Ns представимы формулой типа (6.15).
6.51. Пусть Гр - конечное поле нечетной характеристики, Ь ? Fp и / ? 4 Fp
[xlt ..., хп] - невырожденная квадратичная форма. Найти число N$
решений уравнения f (*г ..., лсд) - Ь в F", где s ? FI, и проверить, что
это
число представимо в виде (6.15).
6.52. Для числа Ns, определенного в упр. 6.53, найти явное выражение
функции
ОО
? (г) = exp J] (Ars/s) г8
\ 5=1
в виде рациональной функции от г.
6.53. Пусть % ап, b ? Та и N (alt Ь) обозначает число решений
к к
уравнения а^1 + ...+ йпхпп = b в Т(tm), где kv ^ - фиксированные натуральные
числа. Доказать, что среднее значение величины N (%, ап, Ь) равно qn~l,
т. е. что
1 ? N ••• ап> Ь) =ср~1
* cf а^, ап, &^Fy
6.54. В обозначениях упр. 8.53 доказать, что
J] (Л? (аи ant Ь) - Z(tm)1)2<q2n~l (д-1}ёг ... dn,
аГ ¦¦¦* sn*
где dt - НОД (ks, q- I) для 1 < г < n.
Упражнения
423
6.55. Доказать, что число решений уравнения + (r) (r) F'J
является положительным кратным характеристики поля F?.
6.56. Пусть р - характеристика поля F? и число d - НОД (ft, q-I)
делит р - 1. Доказать, что диагональное уравнение ... +¦ ad*d ~ b
имеет решение в F^ для любых Ь ? Fg и ай ? FJ.
6.57. Пусть р - характеристика поля Fg, к - положительный делитель числа
р - 1 и / С fa. ..." х&1 - однородный многочлен степени k. Предполагая,
что число решений уравнения f (xv ..." xfc) - 0 в F* не делится на р,
доказать, что для любого многочлена g ? Tq f*i* Xkl степени, меньшей к,
уравнение f (хj х&) = g (xlt .... х&.) имеет по крайней мере одио решение
в Fj-
6.58. Пусть р - характеристика поля fqt к- положительный делитель числа р
- 1 н g С F9 [xi, ..." хь) - многочлен степени" меньшей k. Доказать,
что уравнение х2 ... xh = g (xlt х^) имеет хотя бы одно решение в F^.
6.59. В условиях упр. 6.58 доказать" что уравнение а}х^ + ...+ akxk^~
+ ахг ... xh - g (xv ..." xft) имеет хотя бы одно решение в Fj, если а ?
FJ, йг> *•** ah?Fq и по крайней мере одни из элементов ait I <;t ^ k,
равен нулю.
6.60. Для бнкомнальиых коэффициентов 0 < / < я,
доказать, что
где р - простое число, Ер (г) -- наибольший из показателей /, для которых
р? делнт чнсло г ? iN, a sm - сумма коэффициентов р-нчного разложения
числа т.
6.61, Вывести нз результата упр. 6.60, что еслн я = pfe, к ? iN и 1 ^
то
6.62, Доказать, что если р - простое чнсло, то равенство Ер
выполняется для всех /, 1 ^ ^ я, в том и только том случае, если число п
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed