Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 175

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 169 170 171 172 173 174 < 175 > 176 177 178 179 180 181 .. 371 >> Следующая

над полем и пусть x(s) - канонический аддитивный характер расширения поля
Определим сумму значений этого характера
:>>h
:>.v
Чй
.•'чД*
Л'
V
.V
О
Упражнения
417
Степанова [9], [10], а также получили некоторое ее уточнение. Мазур [1*]
вывел асимптотическую формулу для числа решений системы сравнений
р-1
2 %kkv = av (modр), v=l, ...,/г (в*€{0,1|, к = 1, p - 1).
где p - простое и n - натуральное число. Одлыжко и Стэнли (Odlyzko,
Stanley [1]) рассмотрели только последнее уравнение этой системы и
получили для него более точные результаты. Шпар-линский [3*1 другим
методом получил аналогичное уточнение для исходной системы. Конягин [1*]
дал неулучшаемую оценку с асимптотически точным значением константы для
числа решений полиномиального сравнения п-т степени. При этом он
использовал результаты Стечкина [1] и Нечаева [7]. Хаксли (Huxley [1*])
получил уточнение аналогичной оценки Нагеля (Nagel! [1*]) для числа
решений сравнения с многочленом, имеющим ненулевой дискриминант.
К этому же кругу вопросов относится проблема Артина о локальном
представлении нуля формой. Пусть р > 2 - простое число, Qp - поле р-
адическнх чисел, F (хг, .... хп) - форма степени п от к переменных надрр.
Если уравнение F (jcb ..., хп) - 0, Xj ? Q", / = 1, ..., к, имеет
ненулевое решение, то говорят, что форма F нетривиально представляет
нуль. Гипотеза Артина была доказана при п = 2 Минковским и Хассе, прн п =
3 - Демьяновым [ 1* ] и Льюисом (Lewis [1*]). Кроме того, Ершов [1], а
также Акс и Коген (Ах, Kochen [1 ]) в 1965 г. доказали, что прн заданном
п для всех р, за исключением конечного числа, гипотеза Артина верна. А в
1966 г. гипотеза Артниа была опровергнута в работе Terjanian [I*], где
доказано, что для нетривиального представления нуля формой над Qp
необходимо к > ц1°(r)*20, в том же году это утверждение было усилено
Бровкиным (Browkin [1* ]) до к > я3-8, г > 0. В 1981 г. Архипов н
Карацуба [1*] (см. также [2* ], [3* ]) доказали, что необходимо
условие
> exp ("/(log s > 0, т. е. для выполнения гипотезы Артина
требуется почти экспоненциальный рост числа переменных. Аналогичная
гипотеза для системы форм была также опровергнута Архиповым [1*1, [2*1,
который доказал, что в этом случае к должно расти экспоненциально, именно
как 2п. См. также Боре-вич, Шафаревич [1 ].
По тематике шестой главы кроме отмеченных выше имеются еще работы:
Browkin [2*1, Cheng [I*], Grytczyk, Tropak [1*] и Григорьев [1*]. -
ПерееЛ
Упражнения
6.1. Найти число решений уравнения лс5+ 2лс4 + х2 + I - 0 в поле Fs.
6.2. Найтн число решений уравнения х6 - Зхь - х* + а? - х- 0 в поле Ft-
27 зак. 222
418
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
6*3. Пусть / ? Fg [*j, хп 1 - многочлен степени, меньшей чем п, н пусть
{сц, сщ), i - I, ..." N" - решения уравнения f (х1# .... хп) = 0, лежащие
в F" Доказать, что
N
2 cjy - 0 для любых / н k, 1 < У ^ л, 0 < к < ц - 2,
i="i
6.4. Многочлен / ? Рд [%> .... хп} степени я называется норменным
многочленом, еслн единственным решением уравнения / (**, хп} ~ 0 в F^
является
(О, 0), (Объяснение такого определения содержится в примере 6.7.)
Доказать,
что если / - корменкый многочлен н g ? fq [хъ хп] - произвольный
многочлен степени, меньшей чем п, то уравнение / {х1г хп) - g (хь хп)
имеет
по крайней мере одно решение в F",
6.5. Построить норменный многочлен степени 3 в кольце f2 [jt1t x2t %].
6.6. Доказать, что если однородный многочлен / ? Fg [%, хп] степени d > I
делится на некоторую переменную . то число решений уравнения
/ (*i, , хп) - 0 в Ту не превышает числа dqn~* - (d - I) qrt~~2.
6.7. Доказать, что число a (d), определенное перед теоремой 6.16,
совпадает
In -j- d
с биномиальным коэффициентом 1
\
6.8. Найти диагональную квадратичную форму, эквивалентную форме
*1*2 + 2#1** - х"*8 (; Fs Uir Ч* 4l
6.9. Найтн диагональную квадратичную форму, эквивалентную форме 2x1 - 5#f
+ Зх§ -j- хххг - АхЛхЛ - Вх2хг ? Ру Uj, х2> х3\.
6.10. Найтн число решений уравнения 3xf + х§ - 2xjXs - р .v^g Зх2х3 - 2
в Ff.
6.11. Найтн число решений уравнения 2х\ - *1 + *1 " х\х% - 2xlxs - 2
в Fi
6.12. Найтн число решений уравнения х{ - х\ + 2лс§ - х}х% - х2хя -f -f
2Х2ХА - 0 в F|.
6.13. Найтн число решений уравнения х\ + х\ + х\ -хгх2 - х2х3 ¦+ х2х^-\-
Чхв ~ -* 5 Fa-
6.14. Найти число решений уравнения х\ -f 2х|- 2х\- 2хгх2 -Ь *1*3 -Ь Д-
2х3х3 = 1 в Ffs.
6.16. Найти число решений уравнения х\ - х\ - лс§ -f- 4- 2xtx3 - хг
+
+ 2х3 - 0 в FF
6.16, Найти число решений уравнения х\ -- х\ -f- х\ - ххх2 - x^xa -f хЛх±
-f + Х3Х± + х2 + #4 = I в F§,
6.17. Найтн число решений уравнения х\ + х\ 4- ххх2 x±xs = I в Ft-
6.18, Найтн чисто решений уравнения х\ + х\ Д- jc1jt3 -j- хгх± ~j- хйх4 +
+ х3х± - 1 в FI-
в. 19. Найти число решений уравнения 62х?± + Qx\ -f- аг2х2 Д- ххх3 Д-
хЛх± -Г + #2%"^ (r) 5 Ft* гДе элемент 0 ? Р4 удовлетворяет равенству 82 = 0
+ L
6.20. Найти число решений уравнения (в2 + 0} х\ 4- х\ 4- 0х| №Xlx2 4~
+ 4~ Qx2x3 + (0 + I) х2хА (tm) 0 в F*, где; элемент" 0 ^ Fg
Предыдущая << 1 .. 169 170 171 172 173 174 < 175 > 176 177 178 179 180 181 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed