Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Fg), или одно решение в Fg (если I - 4d - 0), нли вообще не имеет решений
в Fg (если 1 - 4d не является квадратом какого-либо элемента из Fgb
Отсюда получаем, что число решений уравнения х - х2 - d в поле Fg
задается выражением 1 + rj (1 - 4d). Следовательно,
где на последнем шаге использовано равенство (5.37). Таким образом, для
случая т = 2 соотношение Дэвенпорта-Хассе доказано.
Теперь пусть число тп ^ 4 является степенью числа 2, и предположим, что
соотношение Дэвенпорта-Хассе в форме (5.53) уже доказано для всех меньших
степеней двойки. Воспользовавшись этим соотношением для степени числа 2,
равной т/2, получим ';'
о (4>, xbf хьу
G О*2' Х,б) Ч> (4) G (V. Х6)
= ф (4) J (ф, ф) = ф(4) 2 +(С|) ¦("•) =
- Ф (4) 2 ф (с - с2).
*€Гд
(тт-1 (т/2) - 1
Д О "А/, &) = П С to) Ц С ("К*. X")
/ =0 /я,fl p=Q
268
Гл. 5. Тригонометрические суммы
А,*
.V*
А
= (_1)"М> (Т), Хб) G (Tj:m/*. Z(m/2)fr)*
. (_!)(?-!) Хб)С(фт/211, X(m/2>ft) =
Xft)2G(^m/2, Удт/2)&)<3(фт/2гь Х(т/2>й)-
Так как, согласно теореме 5.12 (iv), G (т), %ъ)г ~ t) (-I) q в силу
замечания 5.13 r\ (-I) - (-l)^-1)^, то
т-1
П G(fV, хь) = (-1)<"-'>/V"-2>/jG(iT'2. Xim/2) t)G(i|;m/2ii, Хшт
/-0
Пользуясь равенством (5.53) при т = 2, получаем
G (фт/2, %{т/2) ь) G (tm/% %{т/2) ft) = G (Г], X<m/2> ft) G W>m, Х"б)*
н
>4 J л .Г>
с*
• V*
¦л "о:.
*
уч*
•> #
Л?
- ''Wi
I
а применение теоремы 5.12 (i) дает1)
т-1
П G (Ф*Л Хб) = (~1)^"!}/2^(т-2)/2Т| ^ /=0
. > .!• *
&V-
"А*
•: J*'a
м .*
У ъ -3
• у| . s
'д -й ' с!
•ад
¦.vn'isiJL
т
\ 2
G (л, %z>)G(*j/\ %тЬ)
У<-:
:Q?v
I. s3".
Сначала найдем t) (2). Так как q2 = элемент у С FJ* порядка 8. Тогда у4 -
?~2 (V4 + 1) + 2 = 2. Следовательно, 2 является квадратор
1 (mod 8), то существу^ I, откуда (у + у"1)3
f •** * l3
!#
v/ \7>Л
V'
некоторого элемента поля Fg в том и только том случае, у + у-1 С Fg, т.
е, если (у -f у-1)* - у + у-1. Последнее условй эквивалентно равенству у?
+ у-? - у + у-1, , а значит, н равен ству (у<Н-' - 1) (у?-1 - 1) - 0. А
это означает, что либо уИ -¦ li-lj либо у*?-1 - 1. Но поскольку элемент у
имеет порядок 8, мы Ш-jfj лучаем, чгог\ (2) = 1 тогда и только тогда,
когдаq = гЫ (mod 8)> * В остальных случаях ц (2) - -1.
Чтобы найтн ц (т/2), заметим, что если т 8, то должна быть 2) q = 1 (mod
8), т. е. г] (m/2) = 1. Если же т 4, то q ^
щщ
• и
i,'
= 1 (mod 4), так что либо г) (2) = 1 (если q ~ I (mod 8)), ц (2) - -1
(если q = 5 (mod 8)). В любом случае можно наш* сать, что
Ч
т
^ = ("-в)/8т
•*Д;
:н
>?!2:
• si s ' i
s<
А отсюда и из (5.56) вытекает справедливость равенства (5.53), Таким
образом, соотношение Дэвенпорта-Хассе установлено донН случая, когда
число т является степенью числа 2.
1) т/2 рассматривается как элемент поля Fg. - Прим*, перев.
2) Порядок т - 2s, s > 3, мультипликативного характера % поля Fg дел жен
делить число q - 1, согласно теореме 5.5, - Прим, пере"
•
• "'Н
; д"
§ 4. Суммы значений характеров
269
§ 4. Суммы значений характеров с полиномиальными аргументами
Пусть х - нетривиальный аддитивный характер поля Fg" и пусть задан
многочлен / ? FgU3 положительной степени. Рассмотрим сумму вида
Е х (/(с)),
c€lFg
которую называют иногда суммой Вейля. Задача точного вычисления таких
сумм очень сложна. Поэтому обычно ограничиваются оценкой абсолютной
величины такой суммы.
Но для некоторых частных случаев удается провести исследование этих сумм
элементарным образом. Например, если / - линейный многочлен, то из (5.9)
легко получить, что такая сумма равна нулю. Исследование случая, когда /*
является двучленом, опирается на следующее соотношение между суммами
Гаусса, представляющее и самостоятельный интерес.
5.30. Теорема. Пусть п - натуральное число, % - нетривиальный аддитивный
характер поля Fя и X - мультипликативный характер того же поля, имеющий
порядок d - НОД (п, q - 1). Тогда
Е Х(°с" + 0 = Х(0Е H(a)G(V, х)
С € fg /"I
для всех а, b ? Fg, а Ф 0.
Доказательство. Пусть т - нетривиальный аддитивный характер поля
определенный условием т (с) = % (ас) для с ? Fg.
Тогда
Е х(.м" + Ь) = Х(Ь) 2 X(асп) = X(О Е т(с"). (5.57)
c?Fg c?Fg ? ? IF g
Согласно (5.17),
т(^) ~ q т)ф(с") для с С FJi
еде сумма берется по всем мультипликативным характерам поля Fg. Таким
образом,
2 т(с") = т(0)+ V т(е")= 1 + 73ГГ У]G(t. т) 2 ^ (с)-
j ^и
c?Fg * с$г;
я
Внутренняя сумма в последнем выражении в силу (5.12) либо равна q-1 (еслн
ф"-тривиальный характер), либо равна 0 (если характер ^ нетривиален).
Характер же фл тривиален тогда
270
Гл. 5. Тригонометрические суммы
и только тогда, когда порядок характера т|? делит число d. По скольку
характер Я имеет порядок d, то все характеры порядки которых делят число
d, должны иметь вид - Я/, j = 0, 1, d-I. Поэтому, учитывая (5.14),
получаем
1 @ (АЛт) " ? ^ (ал т)-
М
т
2 т(с")
"ег.
ii
; щ
. .Г:?*4
1 • ••!;
< • • I 4
':'Ч5' .V
;=о
Отсюда на основании (5.57) и теоремы 5.12 (i) вытекает искомый!
результат.
5.31. Следствие. Если % - нетривиальный аддитивный рактер поля Fg и НОД
