Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 112

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 371 >> Следующая

нечетного т имеет место равенство
т-\
П Хь) - qlm-l)/2G %тЬ),
О
а для четного т имеет место равенство
т-1
П G(W. Хь) = (-l)*"-1" (*-2)/82"/2G(л. Xb)G(1|)
/=,0
где г\ -
(5.523
М.,
¦т
Хтъ), (5.5
i >
: v.
¦-Щ
< с 4i2
квадратичный характер поля F,r
Прежде всего мы выведем указанное следствие из тео мы 5.28. Заметим
сначала, что каждый характер фУ, 0 < / < т - I, нетривиален, так как в
противном случае характ^; (tj)X0m = tymVm фт был бы тривиален, что
противоречит пре) положению. Поэтому мы можем применить к равенству из
те$Ц ремы 5.28 соотношение (5.43), н это дает
т-1
с (" = с №, п .
а('Рт' *ть) а№-''Хь)
i
Переупорядочение членов приводит к следующему
т-\ т-1
П G (|-М, Хь) = G (Ц>т, хть) П G 0J, 7.б).
'-.ST*
.
'-Щ
•. '-Щ
V:\fc
;
Если т
i-о
нечетное число, то
}=\
(5.
-.щ
5 {"-ф'й
т-1
П 0(Х/, хь)
/=1
(m- I)/2
п G(V, tb)G(Xm-i
f-t
Хь).
Xi, поэтом!
1).
и так как Хт - тривиальный характер, то Хт~* применяя теорему 5Л2 (iv),
получаем
т-1 (т-1)/2
П G(X', Хь) = ?('"-1)/2 П *'(-
/-]
Согласно замечанию 5.13, X (- 1) - I, поэтому
т-i
П G (V, Хь) = 9|т-1,/2.
/-1
С учетом (5.54) это дает (5.52).
Если же число т четно, то, вновь применяя теорему 5.12 (iv получаем
т-I {т-2)/2
П Oft' Хь) = G (Xм''2, хь) П G(W, Хб)0(Хт-', Хь) =
/=1 /=1
•.й'
fc^SSJ:
• *"*< а
'' \Й}|
•; Ч
•ста?

Ш
':Ж
f .
•• fm
' И
•i
§ 3. Суммы Якоби
265
(т-2}/2 ___
= 0(л. ь) П О (М. Й)0(М. ь) =
/=1
{т-2)/2
= q<m-2>/2G(4, ь) Д М{-1).
1=1
Из замечания 5.13 следует, что Я (-I) - 1, если числЬ (q - 1 )/т четно, и
Я (-1) - -1, если (q - 1 )!т нечетно; поэтому Я (-I) = - j){?-!)/". Таким
образом,
т-\ (т-2)/2
П G(H, %ь) = (/<'"_2>/20(г|, Хь) П (-iy =
; = 1 /=2
=3 ^{/Я-2>/2^5 (r)t Хь) {ш-2)/8}
и вместе с (5.54) это дает (5.53), О
Известные доказательства теоремы 5.28 основаны на теории алгебраических
чисел или на теории конечных расширений поля рациональных функций над
полем Fq (называемых полями алгебраических функций над Fq). Но для
некоторых частных случаев удается дать и элементарное доказательство,
например для случая, когда ф - квадратичный характер или когда число т
является степенью числа 2. Приведем эти доказательства.
Рассмотрим сначала случай, когда ф совпадает с квадратичным характером ц
поля Fg. В этом случае оба числа mwq должны быть нечетными. Мы докажем
равенство из теоремы 5.28, если убедимся в справедливости эквивалентного
ему равенства (5.52). Преобразуем левую часть равенства (5.52):
т- \ (т-1)/2
п 0{r|W, Хь) = 0(т), Хь) П G(T|V, Хь)0(ФтЧ< Хь) =
1=0 J-1
{т-1)/2 ___
= °(л. Хь) П 0(t|W, Хб) G (r|W, Хь) =
= 0(1), Хб)</|т-,)/2 П Ш (-1)
/-1
согласно теореме 5.12 (iv). Поскольку в силу замечания 5.13 Я (-1) ~ 1 н
г\ (-1) - (-то
т-\
П О (Г|У, Хь) = <7(т-,,/2 (- 1 )<*-• > (""-"/< G (t|, Хь)-
/~о
Для правой части равенства (5.52) получаем *)
qim~^/2Q^mt Xm6) = q{m-\)I2Q ^ ^ = щ Q ^
1) Под т как элементом поля Fg понимается вычет по модулю р,
принадлежащий простому подполю Fp поля Fg. - Прим. перев.
ш
266
Гл. 5. Тригонометрические суммы
~ПЧ,
согласно теореме 5.12 (i), так что остается показать, что
¦Ц (т) ^ (-1)^-1) (т-D/4 ф'
Пусть р - характеристика поля и ц = рК Так как квадратш иый характер
г\ поля (Рд можно получить поднятием (в смш
теоремы 5.14) квадратичного характера цр поля fpt то
r\ (т) = tip (Nf /r (m)) = Лр ("*)•
9
Пусть т ~ гх где rt - простые нечетные числа (не обя
тельно различные), которые отличны от р (поскольку т дел число q - 1).
Тогда
т)(ш) = [г\р (гх) . .. т|р (г,)]* = Г { fx 4 У N 15
* *
так как цр задается символом Лежандра (см. пример 5.10). квадратичного
закона взаимности (теорема 5Л7) получаем
г] (т)
(-о
(р-1) (n-lJ/4
?
о
(_!)№-" ('Н)/4]
$
ч
I I I
1
"s](p-1>/2
где
и -
1
2
+
г* - 1
и для квадратичного характера т|г, поля fr
t
П
= (Р)§ ^ Чг, (PS)
Заметим, что
1
1
Ps"! + Ps~2 +
p-f- I = s(mod2).
Кроме того, для двух нечетных чисел о и
ш - 1 v - 1 ш - ! (и - I) (ш - 1)
0 (mod 2),
так что
V - 1
w - 1
VW
i
(mod 2).
Применяя это повторно, получаем
I
и
2'
+
П - 1 _ П ... rt
I
m
- (mod 2)*
Это приводит к сравнению
m -
us ~ -=
1 q-\
1
(mod 2),
"Of
i
II
г.ъ
).'?s .. 'J-i,
-?С .с
.Ki
> <?щ
>*¦
1
fa
-м-
fW
.. • >\iгй
=ЗЙР
,*Л
:>W3
ii
•*&?
1
,4
.V*
¦fl
•ы*А
¦^1 •Avj
' %
Й1|
i-Щ
<):Л j &
¦¦¦ f I
* *.! i}
Г' л>;: '#4
. * * ft*
tg
¦lit
§ 3. Суммы Якоби
267
и отсюда получаем
Но
так как нз q (tm) 1 (mod т) следует q ~ 1 (mod rt). Таким образом, равенство
(5.55), а значит, и соотношение Дэвенпорта-Хассе для указанного частного
случая установлены.
Теперь докажем соотношение Дэвенпорта-Хассе для случая, когда число т
является степенью числа 2. Если т - 2, то X совпадает с квадратичным
характером г| поля Fg* и число q нечетно. Из (5.43) и теоремы 5.12 (i)
получаем
Для фиксированного элемента d ? Fg уравнение х ~ ха - d имеет или два
решения в поле Fg (если 1 - 4d является квадратом некоторого элемента из
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed