Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
из рассуждения, приводяще к равенству (5.24); в частности, пусть Ф снова
обозначает
№
&
.43!
Й''
§ 2. Суммы Гаусса 249
ство всех нормированных многочленов над Fg. Определим на этом множестве
комплекснозначную функцию к, полагая к (1) = 1 и х (^) = ф (ск) % (сх)
для любого непостоянного многочлена g ? ? Ф, представленного в виде g
(jc) = xk - cYxk~x + ... -f (-1)* ск. Тогда для функции к легко
проверяется свойство мультипликативности (5,18). Напомнив, что Фй
обозначает множество многочленов из Ф степени k, разобьем теперь для
каждого k > 1 множество Фа на подмножества, соответствующие фиксированным
значениям коэффициентов сг и ск многочленов g ? Фй. Так как мощность
такого подмножества, соответствующего паре (clt ck), равна qk~2, то
S S' Ф (ch) X (Ci) =
°v 4€F,
А ввиду того что по крайней мере один из характеров % или ф нетривиален,
либо нз (5.9), либо из (5.12) получаем, что.
? k (g) = О для всех k > 1.
Поэтому равенства (5.22) выполняются при значеинн t = 1. Кроме того,
поскольку Фх состоит из многочленов вида х - с, где с ? Fg, то
S *•&)= Е Ф(с)X(с) = S Ф(с)7.(с) = G(ф, х).
Таким образом, из (5.19) получаем, что L (г) - I 4 G (ф, X) г, так что,
согласно (5.23), щ - -G (ф, %). Теперь рассмотрим коэффициент Ls
степенного ряда (5.20), соответствующий указанному в теореме числу s. В
силу (5.21) и ввиду мультипликативности функции к он должен иметь вид
L%= ? deg (/) X (/)vde, m = f
- ?*dtg(f)k(f5/d*g4
f
где сумма берется по всем нормированным неприводимым многочленам / из Fg
Lt], степень deg (/) которых делит s, а звездочка означает, что при этом
исключается многочлен / (я) -- х. Поскольку : Fgl = s, то (по теореме
2.14) каждый нз этих многочленов / имеет deg (/) ненулевых различных
корней в поле ?, и характеристическим многочленом над Fg каждого корня р
многочлена / глужит многочлен /(x)*^de*W. Пусть
/ (Х)*№ Ф - Xs - CiX5-1 4 ¦ • • 4- (-¦ l)s сы\
250
Гл, 5, Тригонометрические суммы
тогда сг = Тг?/Г? (р) и св - NE/rq (Р) согласно (2,2) и ( Поэтому
X </"/** W)) = ¦ (с.) X (Сх) = * (N?/Fs (Р)) X (Тг^ (Р)) =
= *' (р) % (р).
•Л^-V
щ
it
и I - Л*
¦>*v
• i*v.
г v>
Vf. г .г
так что
IT deg (/)Х (/*'*""'>)
/
S* Е *'(Р)х'(Р).
f ^
f (Э)*0
г.-/
.
:Ч.
Когда / пробегает все нормированные неприводимые многочл# из F9 [jcl
(кроме } (х) = я), степени которых делят $, элемент! пробегает в точности
все элементы мультипликативной группы Д поля Е. Поэтому
L
8
'"'..Г *
i Л
%
¦ж
и, применяя равенство (5.24), получаем
о (f> X') = -(-о (\|>, х))",
что и завершает доказательство теоремы.
Для некоторых частных характеров соответствующие им сущ Гаусса удается
вычислить в явном виде. Так, мы установим ё несколько формул помимо тех
тривиальных, список котор приведен в (5.14). Хорошо известна формула,
получаемая квадратичного характера т), определенного в примере 5.10.
5.15. Теорема. Пусть р-простое нечетное число, s Q и Тя - конечное поле
порядка q = ps. Если г\ - квадратична a %i - канонический аддитивный
характеры поля Fg, то
&
о (ч- Xi) =
(¦ ц
1)S-I qm,
1)5-1 (*(/•/*,
если p ее 1 (mod 4), если p = 3 (mod 4).
Доказательство. Применяя теорему 5.12 (iv) и учитывая, f) = г), получим G
(г), xi)2 " Л (-1) а поскольку в силу за чания 5.13 t] (-1) = 1 при q = 1
(mod 4) и r\ (-1) = -1 пр <7 = 3 (mod 4), то
{ ± q{/2> если q = 1 (mod 4), о (л> Xi) ^ 1
± tq]
если q = 3 (mod 4).
Главная сложность состоит в определении правильного _______
Рассмотрим сначала случай s = 1. Пусть V - множеет всех комплексиозиачных
функций, определенных на множес Fp; оно представляет собой (р - 1)-мерное
векторное простр ство над полем комплексных чисел. Базис этого простране
§ 2. Суммы Гаусса
251
можно, например, построить из характеристических функций Д, Д. ..м/р-1
элементов группы Fp, которые определяются условиями fj (с) = 1, если с =
/, и Д (с) = 0, если с ^ /, j - 1, 2, ...
р - 1. Из соотношения ортогональности (5.11) легко вытекает, что
мультипликативные характеры ф0, фь поля
определенные в теореме 5.8, ввиду их линейной независимости над Fp тоже
образуют базис пространства V. Пусть ? = е(r)**/*; определим линейный
оператор Т иа пространстве V, задавая Th для h ? V равенством
р-i
(Th) (с) = S (*) Для с = 1, 2 р - 1. (5.26)
ft =1
Учитывая, что, согласно (5.6) и теореме 5.7, = Хс (А)" полу-
чаем из теоремы 5.12 (i), что для каждого мультипликативного характера ф
поля Fp_ справедливо равенство Т'ф - G (ф, Xi)4>' Поскольку равенство тр
- ф имеет место лишь для тривиального н квадратичного характеров, то
матрица оператора Т в базисе ф0, фь Фр-2 имеет два диагональных ненулевых
элемента, а именно G (ф0, Xi) = -1 (ввиду (5.14)) и G (rj, %i), и, кроме
того, семейство диагональных блоков вида
о G (ф, Xl)
С (ф, Xi) О
соответствующих каждой паре ф, ф сопряженных характеров (отличных от
тривиального н квадратичного). При подсчете определителя этой матрицы мы
от каждого такого блока на основании теоремы 5.12 (iv) получаем
