Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
U1, степень которых делит число s, а звездочка означает, что из области
суммирования исключается многочлен g (*) = х. Каждый такой многочлен g
имеет deg (g) различных ненулевых корней в поле Е - F,., и
характеристическим многочленом любого корня у многочлена g будет
многочлен
g (xy/tesw ~ (дг - у) (дг - у*),.. (зс - у*(r)"1)-
Пусть, скажем,
Я (*)*/**"> ttt -f-(-!)•-i(х)_|_(-I)"
Тогда d = Tr?/f(? (y), cs = yy" ... y"* 1 и
Cs~iCs 5=y -j- У ? -j~ • * • "b У"*" = Tf?y|? (y"l).
282 Гл. 5. Тригонометрические суммы
# S
&
Поэтому
X (gs/des(")) = х (a Tr?/F (V) + b Тг?/Г (г~!)) = (о? + by-'),
Я
так что
и = IT deg (g)X(g*/d€s< *))=== 23* ? +
й
g{y)=0
-v Г4{!з?
Если многочлен g пробегает указанную выше область суммиро* ваиия, то
элемент у пробегает в точности все элементы множества ?*. Таким образом,
;
S Х{5) (flY + by~l) = К (X(i); а, Ь), J
С
s,,s •'••vfflg
и требуемый результат вытекает из (5.64).
5.44. Теорема. Числа он и щ из теоремы 5.43 удовлетворяюшт условию | й>11
- ] ю* | = #1/2.
Элементарное доказательство теоремы 5.44, использующей теорию уравнений
над конечными полями, дается в примере 6.63 для нечетного q.
чт
¦ щ
v&k
5.45. Теорема. Если % - нетривиальный аддитивный харЩ тер поля fq и один
из элементов a, b ? Tq не равен нулю, м§ сумма Клостермана К {%\ а, Ь)
удовлетворяет неравенству
К (х; "г Ь) |< 2qV". ^
Доказательство. В силу замечания, следующего за опредеде#^ нием 5.42,
результат тривиален, если одно из чисел а или равно нулю. Если же ab Ф 0,
то из теоремы 5.43 получаем4(r)1 К (Xi и, Ь) = -"(ог - щ, так что требуемое
неравенство вытекает из теоремы 5.44.
5':W
!'№-м
Теорему 5.43 можно использовать для доказательства редук дионной формулы,
связывающей "поднятую" сумму Клостерман&||| К (х{5); ау Ь) для расширения
поля fqi определяемую в этой теореме, с суммой Клостермана К (Xi о, Ь)
для основного поля Fqy
5,46. Теорема. Пусть % - нетривиальный аддитивный х(И.:-Щ рак тер поля и
пусть a, b ? Fq, причем аЬ Ф 0, и К = К (х; Ь). Тогда для любого
натурального числа s имеет место
равенство
U/2J
К(Х(*";а, Ь) = 2 (-фт (*70 я'К'~21
S -Cl
i \ i /=0
где Ls/2J - наибольшее целое числоf не превосходящее s/2.
"(V
'Ж
№
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров
283
Доказательство. Симметрический многочлен я* ~f я* можно выразить через
элементарные симметрические многочлены х± + + х2 и ххх% с помощью формулы
Варинга (см. теорему 1.76). Это дает
+¦*! = 2 (-O'* i1)ls to+to*")'*.
fi*f-2f9=5S
где/i и {'2 - неотрицательные целые числа. Полагая it = $ - 2j и i-2 = jt
получим
U/2J
*?+*i= 2 1)7 С 7 0 to+(хлУ-
/=о ^
Теперь применим теорему 5.43 и подставим в полученное выше равенство xt =
(oL и - ш3. Заметим, что = -/С (X(S>J
а, Ь) и о)1 + ша = -К, а также что оцод, - q в силу равенства I + Кг +
qz* ~ (1 - щг) (1 - ш2г), установленного при доказательстве теоремы 5.43.
Отсюда сразу вытекает требуемая формула. ?
Для суммы Клостермана K(s) - К (x(5)J я. Ь) можно вывести также
рекуррентное соотношение. Из соотношения
Щ = (^t 4 Ш2 ) 4* ^2) ((Of ^2 )
и теоремы 5.43 сразу вытекает, что
К& = - К<*~1>К - K<s~2)q Для s > 2,
где мы полагаем /(<0) = -2 н К(1) - К = К (х; &)•
Если число q нечетно, то нетривиальные суммы Клостермана можно связать с
квадратичным характером t] поля Тд. Мы снова для удобства полагаем т] (0)
= 0.
5.47. Теорема. Если % - нетривиальный аддитивный характер поля §4
нечетной характеристики и а, Ь ? §4 - элементы, не равные нулю
одновременно, то сумма Клостермана К (х: й, Ь) представима в следующем
виде'
К (х; а, Ь) = 2 X (О Ц (с* - 4аЬ),
где г] - квадратичный характер поля
Доказательство. Если одно из чисел а или Ь равно нулю, то К (х; о., Ь) =
-1, что, как нетрудно убедиться, совпадает оо значением правой части
равенства из формулировки теоремы. Если же ab Ф 0, то можно написать
К (х; а, Ь) = Е ЦОС + be'1) = ? x(d) N (d),
¦f
¦л*
284
Гл. 5. Тригонометрические суммы
¦ т
¦ ':М%
где N (d)
• V
число элементов с ? fg, для которых ас + Ьс_1 = 4.J; уравнение
эквивалентно квадратному уравнению
Последнее
ас2 - dc + Ь - 0. Следовательно, N (d) принимает значения 2 1 или 0 в
зависимости от того, принимает ли квадратичный харак тер г) (d2 - 4ab)
значения 1, 0 или -1 соответственно. Другим" j словами, N (d) = 1 + т|
(d? - 4ab). Отсюда вытекает, что
К (х; а, Ь) - 2 % (d) (\ " (d2 - 4аЬ))
¦ >'Ч
•Й:
rff.F
? X (<*)
? x № ц (<?
? X ($ !] - 4ab)t
4ab)
'Ш
Ж
где на последнем шаге использовано равенство (5.9).
Теперь мы перейдем к рассмотрению сумм, содержащих тольюй^ квадратичный
характер ц поля где q нечетно, н имеющ"#' полиномиальные аргументы, т. е.
сумм вида
? л (/ Ш>
F9
(5,65|
¦ 'it
Щ
г
'¦Ш
щй
№
. ж
У'З-фт,
где f ? [хЗ. Случай линейного многочлена / тривиален, а ддй квадратного
многочлена f можно установить еще одну явнуМ!;1 формулу.
5.48. Теорема. Пусть над полем нечетной характеристишщ
задан квадратный многочлен f (х) - а2х2 4- ахх + а0> где а* Ф 0,
