Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 122

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 371 >> Следующая

Пусть nf ~ n, и предположим, что n < s и n < t. Согласно лемме
5.56,
F (x) 1 ?*ri+i + Ргг+i^n F (X) 4- 1 Pn+1 +
Уп+iPn
6(X) Qn+i + Pn+iQn ' 6{X) Яп+1 + Vn+tfn
с рациональными функциями pn+1 и уп+г отрицательной степени. Вычитая
первое равенство из второго, получим
2 N
G (х) (Q71+1 + Ртг+1@") Й?я+1 + Уп+гЯп) * ^ ^
где числитель N имеет вид
^ ~ Рn+lQn+l Рn + ltfn+1 ~f" Pn+1 (p7l+lQn Pntftl+i) +

Tft+l (PnQn+l Pjl+ltfn) "h P"+lTn + l (PflGft Pjltfn)'
Из определения числа n вытекает, что - р* и - qt для t~- 1, 0, ..., tl.
Следовательно, Pn+\Qn - PnQn+l - (~1)R И
PnQn+i - Pn+iQn = (~-1)п-и в силу леммы 5.57, a pnQn - Pnqn = 0. Кроме
того, простой подсчет с использованием (5.74), (5.75) и леммы 5.57
показывает, что
P"+iQ"+i ' P-n+iPn+i " ( ^n+i)*
Таким образом, мы получаем
N = ( 1)П(ЛП+1 ^71+1 + Рп+1 " Tn+l)*
294
Гл. 5. Тригонометрические суммы
а
п+Ы
Поскольку из определения числа п следует, что Лп+1 то deg (N) >> 0.
Сравнение степеней в равенстве (5.80) дает с уче том неравенства п + 1 <
пил {s, и (5.79), что
q < deg (G) + deg (N) - deg (Qn+1) + deg (qn+l) <
< deg (Qs) f deg (qt) - - q.
¦щ
'
44 ¦'ft.
. ^Л' .U
m
->p
-¦¦vi
Таким образом, здесь всюду должен стоять знак равенства. этому deg (А?) -
0 и, следовательно, deg (Лп+1) deg (an+I) Тогда мы получаем из (5.75),
что deg (Qn+1) - deg (<7n+1) = q/Щ а это противоречит предположению о
нечетности числа q.
Таким образом, либо п - s> либо п = i. Допустим, что п -Тогда t > 3, и мы
можем написать
F (х) ~~ 1 Р3 F (х) + 1

Ё
G(x)
Q,
0(х)
Ps+l + Ta4-lPg
fcr+i 4" Уз+iQs
Снова вычитая первое равенство из второго, получим в си леммы 5.57
%
: :-:т
ж
•М
(-1)
G (х) Qs (qs+i "f- Js+iPa)
и сравнение степеней дает
q = deg (Qs) f deg (qs+l) < deg (Qs) -f deg (qt) q
согласно (5.79). Значит, deg (^s+1) = deg (qt), откуда s 4 J = так как
степень deg (qi) возрастает с i. Аналогично предположен; п ~ t приводит к
тому, что t 4~ I = s.
После этих приготовлений мы можем теперь без труда вывес формулу для сумм
значений квадратичного характера у\ поля нечетной характеристики,
аргументом которого является мног член f С Fq [х]. Точный вид этой
формулы зависит от того, како; из двух случаев леммы 5.59 имеет место.
5,60. Теорема. Пусть г| - квадратичный характер поля нечетной
характеристики, и пусть / ? [х 3 - многочт положительной степени, не
имеющий корней в поле fq. Тогда
deg (а#)" есш Щ - s>
- deg(A3), если nf = t,
¦f.
.. :Ш
¦ц
? Ч(Нс}) = сег9
где многочлены As и at получаются соответственно из (5.76) (5.77).
Доказательство. Обозначим через N (1) (соответствен^ N (-1)) число
элементов с ? Fq< таких, что г} (/ (с)) равно 1 (о ответственно -1).
Тогда
? Т| (/(с)) = N (1) - N (-1).
(5.
Комментарии
295
Так как г} (/ (с))= 1 тогда н только тогда, когда F (с) = f (с)<?-О/з =
.. ], то N (1) равно степени многочлена НОД (F (х) - 1, (? (х)), так что
W (1) - q- deg (Qe) в силу первого из равенств (5.78). Аналогично N (-1)
- q - deg (qt). Если в лемме 5.59 имеет место случай tif t = s - 1, то qt
= Qt = Qs-1 н N (1) - N (-1) - --deg (Qs) -f deg (Qs_i) -deg (Л,?)
согласно (5.75). В случае = s = t - 1 получаем N (1) - N (-1) = deg (qt)
- deg (qt" 1) = deg (at). Результат вытекает теперь из (5.81).
Заметим, что утверждения леммы 5.59 и теоремы 5.60 теряют силу, если
многочлен / имеет корни в поле рд. Рассмотрим, например, случай f (х) -
х. В этом случае сумма значений характера равна нулю, поскольку Е ч (с) =
Е п (с) = о. С другой
cdf'q с 6: Г*
Q ,
стороны
fy>(-~-1- = [0, ЛГ(" Н)/2 + x]i Щ±± = [0, Л'<"+')/2 - X],
так что $ ~ t ~ 1 н deg (Л5) = deg (at) - (q l)/2.
Комментарии
§ 1. Характеры конечных абелевых групп подробно изучаются, например, в
книге Холла (Hall [6, ch. 133) *). Факт, состоящий в том, что конечная
абелева группа имеет столько же характеров, сколько и элементов (см.
теорему 5.5), был впервые доказан Вебером (Weber [2]). Нетрудно доказать,
что группа характеров (j" группы G изоморфна самой группе G (см. упр.
5.5). Особые свойства квадратичных характеров поля Fpa при простом
нечетном числе р были установлены в работах Giudid [13, [23 и Hardman,
Jordan [1]. В статье Cartier [1] изучаются квадратичные характеры
произвольного конечного поля рд и квадратичные характеры групп
невырожденных матриц над рд. Пеллегрино (Pellegrino [2]) изучал, как
ведет себя квадратичный характер поля Fg при дробно-линейных
преобразованиях этого поля. Кар-лиц (Carlitz [273) получил аддитивные
характеры факторкольца Fg [х V(f). Общие обзоры по тригонометрическим
суммам см. в книгах Ниа [123 и Katz [4 3 *).
§ 2. Суммы Гаусса для конечных простых полей были использованы еще в
работе Лагранжа (Lagrange [4]) о решении алгебраических уравнений (в
старой литературе эти суммы часто назы-
1) См. также Шмидт [I*, гл. 9. 10]. - Прим. перев.
А А также Виноградов [2*} и Виноградов, Карацуба [1*}. -¦ Прим. перев.
Гл. 5. Тригонометрические суммы
щ
щ
>
ваются "резольвентами" и "циклотомическими резольвентами^ Гаусс также
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed