Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 123

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 371 >> Следующая

упоминал о них и доказал формулу (5.15) в свои "Арифметических
исследованиях" (Gauss [1, sec. VIII ]); он щ установил некоторые из
свойств, приведенных в теореме 5.1 (Gauss 123, [5]). Доказательства
элементарных результатов о су мах Гаусса имеются в классических работах
Коши (Cauchy [2Ц [4]), Эйзенштейна (Eisensteln 111), Якоби (Jacobi [1],
Куммера (Kummer [31, [4 3, [5], [6]) и Дебета (Lebesgue Обзор этих ранних
результатов можно найти в работах ВасШ шапп [13, 12], Dickson, Mitchell,
Vandiver, Wahl in [1, sec и Smith H. J. S. [13. Суммы Гаусса для конечных
полей обще вида первым рассмотрел Штикельбергер (Stickelberger [13).
тересные замечания исторического характера имеются в работ| Berndt, Evans
[4] и Weil [11]. Современные толкования рази вопросов теории гауссовых
сумм даются в работах Apostol [2, Gras [I], Hasse [15], Ireland, Rosen
[11, Jofy [51, Lang [3], ! и Schmidt W. M, [31.
Теорема 5.14 доказана в статье Davenport, Hasse [1]. На доказательство -
это по существу доказательство Вейля [6]), где с учетом работ Ireland,
Rosen [1, ch. 113 и McElied Rumsey [1] сделаны некоторые упрощения.
Другие доказателзЦ ства этой теоремы можно найти в книгах Lang [5, ch. 1
1 Schmidt W. М. [3, ch. 2]; особенно элементарны доказательств!!
приводимые в работах Schmid П ] и Степанов [14]. Более общ результат
получен Делинем (Deligne [4]) применением ко мологических методов. См.
также статью Hayes [3], в кото доказывается аналог теоремы Дэвенпорта -
Хассе о Гаусса для факторкольца lx]/(/). ,..да
Выражение для квадратичной суммы Гаусса из теоремы 5"Щ было впервые
найдено Гауссом (Gauss [2]) для случая s =*?-'til С тех пор появилось
множество различных доказательств теоремы. Приведенное в нашей книге
доказательство, взятое статьи Waterhouse [2] и основанное на идеях Шура
(Schur имеет то преимущество, что использует по возможности
алгебраические соображения. В доказательстве Шура няется матрица
которая в дальнейшем из
чалась в статьях Carlitz [80], где были найдены ее собственньЦ значения,
и McClellan, Parks [I ] и Morton [I ], где были опреД?§ лены ее
собственные векторы. Другой подход к вычнслени квадратичных сумм Гаусса с
использованием теории матриц бы предложен Карлицом (Carlitz [74]). См.
также работы Bressod
[1], Carlitz [1061, Cauchy [5], Kronecker [23, Mordell F121 i Shanks [1
J* где даются в основном алгебраические доказательств^ аналитические
доказательства используются в работах Bambaljt^
Chowla [1], Dirichlet [1], Esterrnann [2], Karamata, Tonne [11
.A*.
У'ДЬ
Комментарии
297
Kronecker [9], Landau 133, Mordell [1] и Weber [63, а также
в некоторых других. Во многих из этих работ вычисляется сумма
р~1
n-Q
которая, как нетрудно убедиться, совпадает с квадратичной суммой Гаусса
для простого поля Гр. С другими доказательствами можно познакомиться в
книгах Apostol [2, ch. 8 3, Chowla S. [16, ch. 21, Davenport [8, ch. 2 3,
Landau [5, ch. 4 3, Lang [3, ch. 4] и Боревич, Шафаревич [1, гл. 5]. В
статье Berndt, Evans j 41 дается исчерпывающий разбор техники,
применяемой при вычислении квадратичных сумм Гаусса. В связи с теоремой
5.15 интересен следующий результат Човлы (Chowla S. [133, [14 3) и
Морделла (Mordell f 13J) (см. также Narkiewicz [1, ch. 63): если р -
простое нечетное число и ф - мультипликативный характер поля то число G
(ф, Xi) P~l/Z является корнем из единицы лишь в том случае, когда ф -
квадратичный характер. Обобщения этого результата на произвольные
конечные поля получены в статьях Evans [13 и Yokoyama [13- См. также
работы Evans [8] и Stickelberger [13 по поводу близких результатов.
р- i
В статье Carlitz [813 показано, что сумма вида В = 2 cne2nin^p
Я-1
при простом нечетном числе р и сп - ±1 удовлетворяет равенству j В | -
р1/2 лишь в случае, когда В - квадратичная сумма Гаусса для поля Гр.
Другая характеризация квадратичных сумм Гаусса среди сумм вида В дается в
работах Redei [73, [11, ch. 6]. В статье Cavior [31 отмечается, что если
в сумме В коэффициенты сп - произвольные целые числа и выполнено условие
| В | = р1/2, то сумма В тесно связана с квадратичной суммой Гаусса.
Теорема 5.16 принадлежит Штикельбергеру (Stickelberger [13). Ее
доказательство приводится также в статьях Carlitz [713 и Baumert,
McElieee [13, при этом последняя содержит также вычисления некоторых
других сумм Гаусса специального вида. Подобные же формулы можно найти
также в работах Berndt, Evans [1], [23, [4 3, Evans [1], Ishimura [13,
McEliece [5J и Myerson [53, однако некоторые из этих формул содержат
неточности .
Квадратичный закон взаимности (теорема 5.17) был установлен Гауссом
(Gauss [1]), который дал несколько его доказательств (см. также Gauss [2
3, [4 3). Одно из них основано на суммах Гаусса (Gauss [2 3); см. также
Cauchy [2), Eisenstein [31, Hasse П5, ch. 8 3 и Ireland, Rosen [1, ch. 6
3. Некоторые рассуждения в доказательстве теоремы 5Л7 существенно
упрощаются, если использовать суммы Гаусса со значениями из конечных
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed