Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Если г| квадратичный характер поля и d = ai - 4аф% то справедлива формула
т, \ -1W. если
S Ч(/(С)) =
с € F(/
(4 - 1) ц (а2), если d = 0.
•I • *v ?•!/
:: 'Ci'4i ¦Д.Ю
. • яМ
.... ^ - ,sd
rvT-i V-S.ii
•¦Щт
iy, •¦? ! ¦%%¦¦$
:y?4^
¦ 'Ф
•ПИ
Доказательство. Умножая сумму 2 Л (/ (о)) на Л (4л2)
C€F,
1
• < V-'W
• • 'В-4
V'CI::
: JI
I, "-&¦
С?Г
получаем
? Л (/ W) = Л Ю ? Л (4^ + =
= т| (н2) 2 Л ((2^gC 4~ ^i)2 ~
e€F*
Для случая d 0 результат получается сразу. Для 4=^0 можно написать
СИ
d) = r|(a2) 2 г] (Ьг d). (5.
¦Щ
,' м
'V sflfi
щ v' . ^'1
d)
¦q 4* 2 (1 + rj (fr2 *€F9
<0).
v. >;?
V"
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров
285
и так как величина 1 + ц (b2 - d) равна числу элементов с ? таких, что с"
= Ь2 - d, то
S Л Ф2 - d) = -q + 5 (di, (5.67)
где 5 (d) - число упорядоченных пар (&, с), таких, что Ь, с ? ? Fg и &2 -
с2 = d. Чтобы решить последнее уравнение, положим Ь с ^ и, Ь - с - v и
заметим, что между упорядоченными парами (Ь, с) и (и, о) существует
взаимно однозначное соответствие, поскольку q нечетно. Таким образом, 5
(d) равно числу упорядоченных пар (и, и), где и, v ? Fq и uv - d\ отсюда
видно, что 5 (d) - q - I. С учетом (5.66) и (5.67) это дает требуемую
формулу. П
5.49. Определение. Пусть г) - квадратичный характер поля F9 нечетной
характеристики, а ? FJ и п - натуральное число. Сумма вида
Нп(й)= Е г\(сп+1ас) = Ц л (р) ц (сп + а)
С € F g С € F <;f
называется суммой Дкобсталя.
Из теоремы 5.48 вытекает, что Нх (а) - -I для всех а С FJ. Вместе с
суммой Якобсталя Нп (а) можно рассмотреть сходную сумму
h (а)= 2 л (с" + а). (5.68)
которая связана с Нп (а) следующим образом.
5.50. Теорема. Для всех элементов а С FJ, где q нечетно, и натуральных
чисел п выполняется тождество
hn (а) = /" (а) + Нп (о). Доказательство. Имеем
hn(a) - Е л(с!" + а)= Е N(d)i\(dn + а),
c(~Fq d6Fg
где N (d) - число элементов с С Fg* таких, что с2 = d. Но N (d) = = 1 +
г| (d), так что
Чт, (о) = Е (1 + Т| (rf)) л (dn -j- а) = /" (а) + Н" (а). ?
d ?IFg
Суммы /п(а) легко подсчитываются для п = 1 и п = 2.
Получаем Л (а) - 0 и /2 (а) = -1 для всех а С FJ, где второе
равенство вытекает либо из теоремы 5.48, либо из теоремы 5.50.
В общем же случае суммы /п (а) можно выражать через суммы Якоби,
286
Гл. 5. Тригонометрические суммы
5,51, Теорема, Пусть Fg - поле нечетной характеристики* Тогда для всех а
С FJ и всех натуральных чисел п выполняется равенство
d-i
?П (а) = Л И Е V {-а) J (V, ц),
i=i
где % - некоторый мультипликативный характер порядка d "¦ = НОД (п, q -
1) поля Fa, а ц - квадратичный характер этот
ПОЛЯ.
I
*т
<
• ц
..Л
Доказательство. Сумму /п (а) можно представить в следующем виде: 4,
С (я)
2 ч (с" + а)
'ег,
Е ч (*> + ") Af ((>),
ьег,
<7
SSS
(5.
ЯШ
If*
6.
где Л4 (fr) - число элементов с ? FgJ таких, что сп -b Ф 0, используя
(5.13), получим
"(ч=тгт 2 2¦ (r)=т=т2*2
* сег;
лъ •
т
•>.7,-5^ ч:ь-' . /. ^
:'>k
¦гАр
• • .* .• •
I t j,j
КМ
F* $
к'#й
¦:м
/I
Согласно (5.12), внутренняя сумма в последнем выражении равна <7 - 1,
если характер тривиален, и равна 0, еслн ф* нетривй алей. Но рассуждение
из доказательства теоремы 5.30 показывйШ! что характер ф" тривиален тогда
и только тогда, когда ф =
/ = 0,1, ..., d~~ 1. Поэтому
5: :'?Ь&
м (Ь) = Е v (Ь),
j^o
i \ Vii'NY
-Л •
>-V ..Ш
. w(r)
"N- J
>&
и так как М (0) = 1, то равенство (5.70) выполняется также и длн Ь - 0.
Объединяя (5.69) и (5.70) и применяя (5.38), получаем
d-\ d- i
1.
'S'
-Л<;
"к
"(а)= Е ц{Ь + а)ЕНф) =
" g г, /=°
-1) S /-.(V, ч) = ч(
= П(а) Ё Я'(-а)/(Я*, Г)).
/=о
- Г)(
чН)Е Е x/(fr)ri(-fr-
/=о Ь ? f 9
<2-i
-1) S (Ml) (-a) j (М ч) =
/=0
а)
,, *<с
¦ <Н%
¦Ш
¦Ж
. C*Yf!
istf?
Ha основании (5.40) член, соответствующий / = 0, можно опустить. ?
I*
5.52. Теорема. Пусть fq - поле нечетной характеристикщ а 6 FJ и я ? N.
Тогда сумма Дкобсталя Нп (а) равна н улю,
'.-.У.!
• Л(1"
"•"Й!
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров
287
если наибольшая степень числа 2, делящая число ц- 1, делит также п. В
противном случае имеет место равенство.
Нп (а) - г) (а) Я ( 1) J] Я2Ж (a) J <*""-', г|),
/=о
BQe d =- НОД (п, q - 1), Я - некоторый мультипликативный
характер порядка 2d поля Fqt г) - квадратичный характер этого поля и J -
сумма Якоби.
Доказательство. По теореме 5.50 имеем Ип (а) - /2п (а) - - /п (а). Если
наибольшая степень числа 2, делящая q - 1, делит также п, то НОД (2п, q -
1) = НОД (n, q - 1), и из теоремы 5.51 следует, что Нп (а) = 0. В
противном же случае НОД (2п, q ~~ 1) = 2d, так что из теоремы 5.51
получаем
2d-i
/"(") = Л (") Е X>(-a)J(V, Г)).
1=1
Поскольку характер Я2 имеет порядок d, та же теорема 5.51 показывает, что
/. (а) = л (в) Ё & (-Л) J W. tO-
;=i
Это означает, что
Нп (а) = Л (а) S ^'+1 (-") / <**+*. Л) =
= г)(а)Я(-1) Ё я2/+1(")^(^,+'. Л). ?
/=о
Из этих результатов и теоремы 5.22 получаются следующие
оценки;
IU (a) \<(d~ 1)?|/2, |Я" (а) |< dql>\
которые не хуже полученных из теоремы 5.41.
