Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Локстоном (Loxton [2],. [3]) и Мак-Гетриком (McGettrick [2]} в качестве
гипотез и дающих значения биквадра-тнчных сумм Гаусса G (ф, Xi) иад
простым полем [рр. Распределе-
0 (ф, Xi) = j (Фт Ф) я (ф) Р1/3,
300
Гл, 5, Тригонометрические суммы
ние величины О (ф, ул) р~1/2 на единичной окружности иееледовад! Хассе
(Hasse (15, ch. 20]), Кубота (Kuboia Т. (43), Лемер (Le mer Е. [5]) и
Ямамото (Yamamoto [1]), а затем Паттерсон (Ра|| terson S. J. [41)
показал, что эти значения равномерно распр делены на единичной
окружности, когда р пробегает все прост-числа, сравнимые с 1 по модулю 4
и что аналогичная теоре^| справедлива для сумм Гаусса любого высшего
порядка. Дальн шие результаты о биквадратичных суммах Гаусса можно найд)
в работах Berndi. Evans [43, Hasse [15, ch. 203, Kratzel [ и Kubota T. (4
3. Другого типа результат о равиораепределезЦ ности для сумм Гаусса
установил Смит (Smith R. А. [3 3, [41] который показал, что еслн ф
пробегает все нетривиальные мульт пликативные характеры простого поля FP,
то распределение р - величин О (хр, ул) р~1/?г на единичной окружности
стремится к ра номерному распределению, когда р оо (см. также Katz [ ch.
1 ]},
Прн доказательстве теоремы 5.17 мы отмечали, что значен-сумм Гаусса
являются целыми алгебраическими числами. Ц этому представляет интерес
разложение на множители така значения (точнее главного идеала,
порожденного таким знач нием) в кольце целых соответствующего поля
алгебраически чисел. Это было осуществлено в важной статье Штикельберге§
(Stickelberger [1]}. Некоторые результаты этой статьи излагают в работах
Gras [1 ], Joly (5 3, Lang [3, ch. 4 3, [5, ch. I ]. В стат Frohlieh [2]
предлагается другой метод доказательства. Штикел бергер в той же статье
(Stickelberger [11) получил некоторй сравнения для значений сумм Гаусса;
см. также Dwork (2J Gras [1].
Результатом, представляющим большой теоретический ин|| рес, является
формула Гросса и Коблица (Gross, Koblitz [К выражающая значение суммы
Гаусса в виде некоторого прок ведения значений р-адической гамма-функции;
ем. также Boyarsk [13, Koblitz [3, eh, 33 и Lang [6, ch. 15 3.
Интересное мультипликативное соотношение между суммам$|| Гаусса, впервые
установленное Якоби (Jacobi [2]), представлен^ следствием 5.29.
Предположение Хассе (Hasse [15, p. 465l| о том, что соотношения,
выводимые из теоремы 5.12 (iv)) и слеД|| ствия 5.29, порождают все
возможные мультипликативные сооФЩ ношения между суммами Гаусса, было
опровергнуто Ямамот%| (Yamamoto [2]); см. также Yamamoto [4 3. Другие
тождества* содержащие произведения сумм Гаусса, можно найтн в работа(r)
Boyarsky (13, Evans [7], Grant [1] и Helversen-Pasotto [1], [2U;i
[33, [4].
Суммы Гаусса возникают также и во многих других раздела^} математики.
Так, в теории чисел весьма эффективно исполы| зуются суммы Гаусса для
факторкольца Z/(m) (т может быЩ\
$ '№Н
т
Комментарии
301
и составным числом). Они определяются с помощью какого-нибудь аддитивного
характера кольца Z/(m) и некоторого характера группы делителей единицы
этого кольца. Развитая теория таких сумм представлена в книге Hasse [15,
ch. 20]. Такие суммы рассматриваются также и в других источниках,
например в книгах Apostol [2, ch. 8], Ayoub fl, ch. 5], Lang [3, ch* 4],
[5, ch. 3] и Narkiewicz [1, ch. 6]. Квадратичные суммы Гаусса такого вида
удовлетворяют закону взаимности, который был сформулирован Коши (Cauchy
[5]) и доказан Шааром (Schaar [1 ]) и Кронекером (Kronecker 131); см.
также Bochner [1], Landsberg [2] и Lerch [1 ]. Обобщения этого закона
взаимности можно найти в работах Berndt [1], Berndt, Evans [4], Gninand
[1] и Siegel [3]. Другие соотношения между квадратичными суммами Гаусса
для кольца Z/(m) н близкими к ним суммами приводятся в статьях Carlitz
[107], Chowla S. [1], [2] и Menon [1]. Суммы Гаусса для кольца Z/(m) с
ограниченной областью суммирования рассматриваются в статьях Berndt,
Evans [3] и Lehmer D. Н. [11].
Суммы Гаусса для полей алгебраических чисел были введены Гекке (Hecke [1
]). Об этой теории см. Hasse [10], Неске [4, ch. 8] и Narkiewicz [1, ch.
6]. Дальнейшие результаты, в частности, о законах взаимности для
квадратичных сумм Гаусса этого типа можно найти в работах Вагпег [2],
Неске [2], [3], Kloosterman 13], Kubota Т. [1], Kunert [1], Mordell [3],
Shiratani [1] н Siegel [31. Гауссовы суммы Гекке были затем обобщены
Хассе (Hasse [12], [13]), который рассмотрел так называемые гауссовы
суммы Галуа; см. также Kubota Т. [1], [2], Lakkis [1], [2], [3] и более
ранние работы Frohlich, Taylor [1], Martinet [1] и Taylor M. J. [1], [2].
Еще один тип сумм Гаусса для полей алгебраических чисел был рассмотрен в
работе Kubota Т. [3].
В статьях Carlitz [27] и Hayes [3] были рассмотрены суммы Гаусса для
факторколец вида Fg [х]/(/), а Шмид (Schmid [2]) ввел суммы Гаусса для
колец векторов Витта иад конечными полями. В статье Schmid, Teichmiiller
[1] рассматриваются суммы Гаусса еще для одного класса колец,
