Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
(п, q- 1) = 1, то
т
2 Х(ЛС" + Ь) = 0
сег
>л'-.
ад
X-
Я
для любых a, b ? Fg, а Ф 0.
5.32. Теорема. Пусть % рактер поля Fg,
- нетривиальный аддитивный п ? IN и d = НОД (д, q - 1). Тогда
Л
щ
'Щ.
• . / * •* •? ; v • S,^1
2 %(асп + Ь)
ceF
Я
Г-АЩ
• : Щ
¦¦..•дан
iA? ?.Tf!
для любых a, b ? fqt а Ф 0.
Доказательство. Утверждение сразу вытекает нз теоремы 5 н равенства
(5.15).
Особенно простой вид принимает теорема 5.30 для п = 2 ^ нечетного q. Этим
можно воспользоваться при подсчете сумм
рактеров для любых квадратных многочленов над полем нечет
тШ
*тщ
•sllty • • i Ч,А
iSS:
шШ
ж",- ЯЛ
характеристики.
5.33. Теорема. Пусть %
¦vJi ...
ьг
!МШ
нетривиальный аддитивный ,#0§
а2х
ахх + о**
рактер поля Fg, где q нечетно, и пусть f (х)
? Fg U3, а% ф 0. Тогда
? X (/ (0) = X (йо - а] (4а,)-1) r| (a,) G (Г|, у), '6Fg
гд€ г) - квадратичный характер поля Fg. Доказательство. Для с ? Fg
f (с) = аф2 + ахс + а0 = Ог [г + ai (2а2)-1 ]2 + flo - л? (4а2)'
*;
• '"Л?
' л.
• .
/ •, s
• /:.,4 * :!#i
• 1 'if(r)
• V;
-..Mil
Л. •
• Л;:
c<
Таким образом, полагая Ci = с + a\ (2a2) l, b ~ Oq
и применяя теорему 5.30, получим, что
Е х (J (с)) = ? xW?
4F" htFa
a, (4a2)
4
6) -X)
Ш
§ 4. Суммы значений характеров 271
Суммы значений характеров подобного вида можно вычислить в явном виде
также для случая, когда / является аффиииым р-многочленом над полем Fg
(см. определение 3.54).
5.34. Теорема. Пусть конечное поле Fg имеет характеристику р и
f (х) - аТх^ + ar^xpr~[ -f •. ¦ -f аЛхр -f- а^х + а
- некоторый аффинный р-многочлен над Fg. Тогда для любого нетривиального
аддитивного характера %ь> b С FJi поля Fg. (в обозначениях теоремы 5.7)
имеет место соотношение
У (/ (С)) =
если baT + bpap~ i + * * ¦ -f- b^^af 1 ~j~ bpraf = 0, в противном случае
Доказательство. Имеем
? if (с)) = %ь {а) ? Xi (L (с)), ctFq
где
L (лс) =а ЬаТхрГ -f baT_1x^''~x -f ¦ ¦ ¦ -f baxxp ~j~ baQx
есть р-многочлен надполем Ffl- Если мы положим т (с) = Xi (L (с))
для всех с ^ Ра" то из (3.11) следует, что т - аддитивный характер
поля Fg- Таким образом,
2 Xi (L (с)) = У т(с)
q, если т тривиален
Т(С) ~ \
c?Fq e€Fg
0 в противном случае
Остается охарактеризовать те р-многочлены L (х), для которых характер
ттривиален. Пусть q = ps, а Тг - функция абсолютного следа из Fg в fp.
Тогда в соответствии с определением (5.6) характер т тривиален тогда и
только тогда, когда
S-1
Тг (L (с)) =-- ? L (с)р/ - 0 для всех с С FV
/=о
Указанные равенства выполняются в том и только том случае, когда имеет
место полиномиальное сравнение
а-1
? L (ху1 = О (mod (ХО - х)). (5.58)
Далее.
S-Ч S-I / Г .\pf S-I г . ,
? Ц#> = ? ( ? ЬаУ' ) = ? ?
/-0 /-0 М-0 / /==0 (=0
272
Гл. 5. Тригонометрические суммы
н поскольку при т ~ п (mod s) выполняется равенство ср
нл'
т
•ЛЯ
для всех с ? а также имеет место сравнение (mod (лг? - я)), то
ап
Е l (xf = Е ( S ьрк~'fk~'
/=0 й=0\1-=0
хрк (mod {xq - *))•
Таким образом, сравнение (5.58) выполняется тогда и только тогдаД когда
.iWJ
i=О
щ
- О для k - 0, 1
* * -р
1.
\,тГ,
А это равенство выполняется тогда и только тогда, когда
, г-к
М
№
Ля
•Л*
Е**
(=0
r-'af-' = ( ? ft'
Vi^O
0
¦а
> >к5
.-?к
что и завершает доказательство.
Теорема 5.34 содержит, в частности (при р = 2, г = 1), формулу для
вычисления сумм значений характеров того же вида, что и в теореме 5.33,
но для случая, который там не рассматривался, а именно для четного q.
5.35. Следствие. Пусть f (я) = где q четно, и пусть хл, 6 ? FJ, -
¦*$
>7
¦Ж
¦'% ч-
• .
:'М
Ijc]
г,:Ы
а2х% + агх + С Ffl нетривиальный аддитивный
• г-
характер поля Fg. Тогда
•.;4v§
. V*
Хь (/ (г)) -
€Г
Хь Ы
о
Jrt • I
?| rjb
ж
• • \ -<Л
в противном случае.
лч
•W
Обратимся теперь к общему методу получения оценок для сущ? значений
характеров с полиномиальными аргументами. Так случай линейного многочлена
тривиален, то можно считать, степень многочлена не ниже двух. Следующий
результат является основным. Напомним, что поднятие %is) аддитивного
характера поля IFg до расширения Е = !Fgs этого поля вводится прн помощи
соотношения %{s) (р) - х (Тг^др (р)) для р С ?•
5.36. Теорема. Пусть f С Ро 1*3 -многочлен степени п ^ 2
?
причем НОД (пу q) 1, и пусть % - нетривиальный аддитивным характер поля
Fe. Тогда существуют такие комплексные чаем Шь ..., (йя_х, зависящие
только от f и %, что для любого натураяь~Щ ного числа s имеет место
равенство ; :Щ
ъ fs> a/"w -
S
§ 4. Суммы значений характеров
273
Доказательство. Пусть f (х) ~ Ьпхп + ¦¦¦ + Ь^х + Ь0> где ^ Ф 0. Для
фиксированного натурального числа A ^ 1 тогда
f <*) i 4 I "Г f C^ft) ' bnSn ¦ • * i *^ft) Л- ¦ * ¦ + b\S\ (^b ¦ ¦ * i
Xk) ~f- A&g,
(5.59)
где
Sf (A*!, . . •, Xk) = X\ --J- - - - -J- x{, 1 ^ fit
Для 1 < r < k пусть ar - or (яь ..., xk) есть г-й элементарный
симметрический многочлен от переменных лсь ..., хг над полем [Fg (см.
пример 1.74). Тогда для / ^ 1 мы получим, используя формулу Варинга (см.
теорему 1.76), равенство
