Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, условие (5.22) выполнено t = d- I. Поэтому нз (5.24)
следует, что существуют комплекс ные числа "ь ..." <dd-i, такие, что
d- 1
Ls ~ - ? со/,
? ¦¦та" ^
S
h 2,
•и
Теперь подсчитаем Ls по формуле (5.21), используя тот прием, что и при
доказательстве теоремы 5.36, При Е - получаем
>,= Е (?) / (?") /(Х~')),
?е?
и поскольку
*(/(?)Кг) ¦ ¦ ¦ f(X-1)) = ¦ (/(?)ЯуГ--- I(?Х"') = = * (N?/F (f (V))) =
*<•> (/ (?)).
Г :
!•!? > i:VV
\%• ••.•1
• xj'X .:\ir
.'•-Й
.;й
" AS*
3 .V/
S'
§ 4. Суммы значений характеров
279
jo можно написать
?.= 2 ?s) (f№,
У?Б
что и завершает доказательство. ?
5.40. Теорема. Все комплексные числа о>ь .... &d-i из теоремы 5.39 по
модулю равны .
Замечания, сделанные после теоремы 5.37, справедливы также и по отношению
к теореме 5.40. В частности, элементарное доказательство более слабого
утверждения, а именно что | ioj |
/ 1, .... d - 1, будет дано в следующей главе (см. теорему
6.56).
5.41. Теорема. Пусть ф- мультипликативный характер поля Fq, имеющий
порядок т > I, и пусть / ? fq [х] - нормированный многочлен положительной
степени, не являющийся m-й степенью другого многочлена. Если d - число
различных корней многочлена f в его поле разложения над Fg, то для
каждого а ? Fg выполняется неравенство
$ ("/(")) <(d -
Доказательство. Случай d - I легко проверяется, так что можно
предположить, что d > 2. Тогда, применяя теорему 5.39,
получаем
S Ф iaf (С)) " Ф (а) 2 Ф {/ (с)) (tm) - Ф (а) ((r)Х 4" • • • + (r)d-x)*
c?Fg сег9
Теперь, нспользуя либо теорему 5.40, либо ее ослабленную форму | ш; | <
/ = I, d - I (теорему 6.56), мы получаем
требуемое неравенство. ?
В случае, который не покрывается теоремой 5.41 (а именно когда многочлен
f является т-й степенью некоторого другого многочлена), приведенная в
этой теореме оценка не всегда справедлива. Например, еслн f = g4 и
многочлен g 6 Fg lx] не имеет корней в поле F9, то ф (f (с)) - фт (g (с))
= 1 для всех 0 € Fq, так как фт - тривиальный характер, н поэтому оценка
и теореме 5.41, вообще говоря, неверна (левая часть равна q).
Случай, когда ф - квадратичный характер, будет подробно рассмотрен в
следующем параграфе.
tf'W
280
Гл. 5. Тригонометрические суммы
.уА
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах
значений характеров
Л< ъ
уЗ
ш
Сначала рассмотрим один тип сумм значений характеров, ко| торый допускает
исследование методами предыдущего парагра и представляет интерес для
теории чисел.
5.42* Определение. Пусть х - нетривиальный аддитивный хД рактер поля F^,
н пусть а, Ь С Ffl- Сумма вида
S %(ас + be1)
сег;
К (Г, а, Ь) =
¦ ''-Ч.
:Д;
¦Г§
а
называется суммой Кластермана.
Случаи, когда ab = 0, тривиальны. Если а =- Ь ~ О,
К (Xl b) = q - I, а если лишь одно из чисел а или b равно то К (х; 6)
= -I. Вообще заметим, что сумма Клостермай
U f * .•'К*
всегда принимает действительные значения, так как если К = /С (х; й, 6) и
/С - его комплексно-сопряженное, то
- Ьсг1) = ? Z (а (- с) + Ь (- с)-1) = /с,
e6F
к= ? х(
ас
"ег;
*
Я
.•Г.;
поскольку элемент -с при этом тоже пробегает все множество J| Как н в §
4, мы через х{5) будем обозначать поднятие аддитй ного характера х А°
расширения F^" поля Тч.
5.43* Теорема, Пусть % - нетривиальный аддитивный рактер поля Fq и а, b С
FV причем аЬ Ф 0. Тогда существуЩj такие числа щ и ш2, зависящие лишь от
х, а и b (которые тф оба действительные, либо комплексно-сопряженные),
что каждого натурального числа s выполняется равенство
w (ay + by~') = -
Jfii
а, Щ
?
X
(c)2.
-Ш
y?F'qS
ш
т
т
.А
Доказательство. Метод доказательства тот же, что и для рем 5.36 и 5.39.
Определим функцию X из множества Ф
нормированных многочленов в множество комплексных чисе^ модуль которых не
превосходит единицы, следующим
••
ьт
ж
ш
Как и раньше, через Ф& обозначим подмножество Ф, состоящей из многочленов
степени k. Положим X (I) = 1. Далее, если многб**
член g С Ф&> k С имеет вид
k
Е (-
Л
g(x)
г-0
1 у сг х
к-г
щ
то положим X (g) - 0, если ск - 0, и
•<:>?
X(g) = x (<*ci + Ьск~1скесли ck Ф 0.
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров
281
Легко проверить, что X (gh) = X (g) X (h) для всех g, h
? Ф.
Для к ^ 3
? fe) = ? ? г (^i г bet-ici') =
" € фл V 'л-i € F, Ъ € F;
= чк~3( ? х(осО) ? ? г(bck-ic*') =-=о,
\*i€F, /'*-.€F,"*eFj
так что условие (5.22) выполнено при # = 2. Из (5.19) получаем
€ ф* /
При /С = /С (X; Ь) имеем
2 *fe)= ? у.(ас+бс-1) = /(.
"еф* "eF;
Кроме того,
? ь(е)= 2 ? х (ci ("+ Ьсг1)) = ?,
"с(r), '2eF;"i6F,
так как внутренняя сумма равна q при сг - -а~гЬ н равна О в остальных
случаях. Таким образом, L (z) = 1 + Цг + =
= (1 - о>1 z) (I - ш2г), где (c)i и (c)2 либо оба действительные числа, либо
комплексио-сопряжеииые, так как многочлен L (г) имеет действительные
коэффициенты. Согласно (5.24),
Ls = - (c)f - (c)| для всех s=l,2, .... (5.64)
Остается оценить La. Из (5.21) мы получаем
Ls = ? deg (g) X = ?' deg (g) X (?"'<"*<">),
& &
где сумма берется по всем нормированным неприводимым многочленам g из Fe
