Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
5/(*ь • • Xk) =
/ n'V^*+fe+ •" 0i + h + ¦'' + *ft-01 j Дз _lft
<_1> ------,,i,,iik\ .-
где суммирование ведется по всем A-наборам (i'lt ik) неотрицательных
целых чисел, таких, что + 2*2 + ¦¦¦ + Ын ~ /. Для / = 1 мы имеем sx (яь
..., лсй) = стх. Для 2 < / < А существует одно решение уравнения /х + 2+
... + bik = /, в котором if = 1, а все остальные ir равны 0; слагаемое,
соответствующее этому решению, равно (- 1)/-* joj. Для остальных решений
уравнения /х + 2i2 -f ... + kih = j обязательно ii - ii?X = ... ... - ih
= 0, так что соответствующие им слагаемые могут содержать лишь
симметрические многочлены ах, а2, ..., а;_х. Поэтому
5Х (Хи • • ¦, Xf^) Ох,
sj(xlt ..xh) = (-\y-1 joj^Gj(olt ....а^) при 2</<А, Ъ(хг> ..., xk) =
Hj(oi, при / > А,
где Gf - многочлен от j - 1 переменных, a Hj - многочлен от k переменных
иад fq. Из (5.59) тогда получаем, что
(-I)*-1 ttbnon 4- G(ax, ..., an_x) при А^я,
.Я(аь ..aft) при 1<А<я- 1,
(5.60)
где G - многочлен от л - 1 переменных, а Н - многочлен от k переменных
над (Fg.
Определим теперь функцию X из множества Ф всех нормированных многочленов
над полем Fg в множество комплексных чисел с модулем, равным единице,
следующим образом. Положим 0) - 1. Далее, если многочлен g принадлежит
подмножеству Фй множества Ф, состоящему из многочленов степени А 5* 1, и
разложение этого многочлена в поле его разложения иад F? имеет ВИД g (я)
- (я - Ofi) ... {х - оц), то положим
^ (g) - X (f ((r)i) Н- -*¦ Н- / (otii))'
Зак, 222
f (*l) + * ' ¦ -j- / (хй) =
274
Гл. 5. Тригонометрические суммы
гМйЬЧЧ
Заметим, что поскольку <хг (aJf ak) ? Fg, 1 < г ^ k,
из (5.60) следует, что f (ах) -f ... + /(ah) ? fq. Взяв
дру
многочлен h из Ф, для которого h (х) - (х - р}) ... (х - ' получим
X (gh) ~ % (/ (ах) + ... + / (а*) + f (Рх) -f ... + /
(Рт))
= X (f ("i) +... + / (а*)) X (/ (Pi) + ... + / (рт))
= X (g) X (h}>
так что условие (5.18) мультипликативности функции X выпад ияется.
Рассмотрим теперь сумму
? xfe)
для фиксированного п. Для многочлена
к
g М = хк + ? (-0" = (* - <*0 ... (X -
Г=1
Й'У
'.cpi
• V I •,
тЗ
. ! s_.
4 .;US ¦
¦О" *1
ah) ? Ф&
aTi r = 1,
k, так что из (5.
•
-Ii
. 'St.'
>.S ;* *.* i чр
* S's
* v* f
<
¦ ^
.s;*i
: Ул •
ft *
•* On-l)<
. • ,^5.''7iVp
• ><V
1)п"* Ф 0, а значит
• i ^
./• *? -r/%
i"?
< ...p • *1 • '
мы имеем стг (alf a&) =
следует, что
/ (a,) + ... + / (a*) = (-1 y>-> ftfena" + О (a"
Поскольку НОД (n, q) - lf to 6 = (
? ^ fe) ~ ? X + fr fei, -.
g€<Dfe or ...,efc€Fe
? X (ban) X (0 (%.
1" ffn ? Fg
? x(<w")W ?
tan € Fg / \ai" *> > * an-i € Fg
согласно (5.9). Таким образом, условие (5.22) выполняется при t = rt - I.
Поэтому из (5.24) следует существование комплекс ных чисел <01,
й>л_1, таких, что
п~\ у&
Ья~ - 2 ю/, s = 1, 2, ...* (5.61)
/"1
дк-П
= ?*¦
а., .
. "й-i)} =
% (О (#1* * t - I ^
* л':^Ш
? .* vO
' -:Ж
:S|
УШ Щ
№
где Ls введено условием (5.20).
Вычислим теперь Ls по формуле (5.21), Согласно этой формулу
L, = ? deg (g) X (g*/** ">).
где суммирование ведется по всем нормированным неприводимым многочленам g
из рд [х], степени deg fe) которых делят число s Для такого многочлена g
пусть у ? ? - Fg# - некоторый его:
'•И-1
л АС
щ
*т
. vr"
I
§ 4. Суммы значений характеров
275
корень. Тогда многочлен является характеристическим
многочленом элемента у над так что в силу (2.1)
g (*)s/deg <g) = (х - у) (х - Y>) (х ~ уг2) ... (х - откуда следует, что
х (g*/** (8 >) = х (/(?) + / (ТОН----Ь/ №"'))¦
Последнее выражение, очевидно, не изменится, если элемент у заменить
любым из различных сопряженных с ним элементов
у?, у?, у9 " ; поэтому можно написать
deg (g) X (g*/dee <'>) = S х (/(?) + f (TO H b f (y**-1))
у € В
о
*
и
С, = ? ? х(/(?)+/(?ОН---------------Ь/(¦у**-*)) =
а у€ д а <у)=о
= Е x(f(y)+nv)+ ¦¦¦
у € Д
Но поскольку
х (/ (у) + f if) н-----b fir3-')) = х(/(?) +fbY -\------b f )=
= х (TrB/r(|(f (?))) = х'*' (f (v">
ТО
L. = ? х<*> V (?)),
v ? д
и утверждение теоремы теперь вытекает из (5.61). ?
5.37. Теорема. Все комплексные числа шъ wn-i из теоремы 5.36 по модулю
равны
Первоначально теорема 5.37 была установлена глубокими методами
алгебраической геометрии. Более элементарное доказательство было получено
с использованием теории уравнений над конечными полями. В следующей главе
мы докажем более слабое утверждение, а именно что | щ \ < qW, j - 1, п -
1 (см. теорему 6.60), которое вполне достаточно для приложений к оценке
сумм значений характеров.
5.38. Теорема (теорема Вейля). Пусть / ? (F^-Uj - много-член степени п ^
1, причем НОД (n, q) - 1, и пусть % - нетривиальный аддитивный характер
поля fq. Тогда
? Х(Цс))|<(п-1)9'/*.
е€Гд I
18*
276
Гл. 5. Тригонометрические суммы
УЛ
Доказательство. Случай п 1 тривиален. При п ^ 2 мож: применить теорему
5.36. Получим
? V (/ (с)) = - Wi
* * *
сер
ул,
ч
Используя теорему 5.37 или более простое утверждение, ч-
tdj
< ql/2, j - 1,
n - 1 (теорему 6.60), мы получаем требуй
