Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
непрерывную дробь, даваемого средним членом ства. Удобный способ
вычисления рациональной функции, лрёД| ставленной непрерывной дробью,
основан на следующей реку рентной процедуре. Определим многочлены Р* и
Qit i 0, ..., $, условиями
P_i = 1, Р0- Ло. Pi = ^i*Pi_i + Рt_2 для t = l, ..s, (5.74
Q_i = 0, Q0 = 1, Qf - -j- Qjf_2 для i=l, .. ., s. (5,7
Ясно, что deg (Рг*_3) < deg (P*) для i I, s и deg (Q*"3)
< deg (Q4 для i = 0, 1, ..., s. Следствия 5.55 и 5.58 ниже иоказШЩ вают,
что Pt и Qi являются соответственно числителем и нателем (несократимой)
рациональной функции, представлениоЩ
' **2
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 291
непрерывной дробью [40, Ai, ..., At]; будем /VQi называть приведенной
формой непрерывной дроби [Л0, Ль ..., At]. Полезно Распространить
определение степени на множество всех рациональных функций, полагая
степенью рациональной функции Р - ffg число deg (р) = deg (/) - deg (ф.
При этом уславливаются, что deg (0) - -оо и -оо - п - -оо для любого п ?
Z.
5.54. Лемма. Для любой рациональной функции р неотрицательной степени
имеет место равенство
[Л0, Аъ ..Аиъ р] =^77^77 для * = 1. ..s + 1.
Доказательство. Применим индукцию по i. Для i = 1 обе части равны А0 +
р"1. Если утверждение выполняется для некоторого г, 1 < I <s + 1, то,
поскольку, Ai -f- Р~1 - рациональная функция положительной степени,
получим, используя предположение индукции и равенства (5.74) и (5.75),
(Л0, Ait Ait р] - [Aq, Aif ..., At + p-1] -
_ + pPt + Pt-i
(Ai + P~l)Qi-i + Qi-z Qi+p~xQi-i pQi+Qt-i
?
5.55. Следствие. Для любого t, 0 < i s, имеет место равенство
[Л0, A\f ..., Ai] - "qJ" *
Доказательство. Утверждение тривиально для I = 0. Для I С i С s положим в
лемме 5.54 р -- А( и используем (5.74) н (5.75). ?
5.56. Лемма. Для любого i, 0 i •< s, имеет место равенство
го _ Pi 4 fitPt-i
Qi + PlQi-1 *
где x - рациональная функция отрицательной сте-
пени.
Доказательство. Доказываем по индукции. Для i = О
_Р_о 4 __а ( а _ л t ¦4рг14 Та
"5о + РЙ.1 ~ 0 + + ~ " ~ = ~'
где иа последнем шаге использовано равенство (5.73). Предполагая
Доказываемое равенство выполненным для некоторого i} 0< % t < s,
получаем, в силу (5.74) и (5.75)
Pj+i 4- Pf+i/** " (-4j+i 4 Phi) Pt 4 Pj-\ Q1+14 Pi+iQi (-^i+i 4 Pf+i) Qi
4" Qi-i *
19*
292
Гл. 5. Тригонометрические суммы
а из (5,73) следует, что Р;
Рш. + PmPi РГ1
1 = Ai^i I- рг u]. Таким образом,
Pt + P;-1 Pj-l-PiPi.i _ r"
•Ж
Q
i+i
Pi+iQi
согласно предположению индукции, ство.
Qt"hPiQ/-i ri
ф I
Это завершает доказатед$:
• Си
ъ№
5.57. Лемма. Для любого ?, 0 .< i < s, имеет место
•V
Доказательство. Доказываем по индукции. Для I - 0 им* P0Q-i - P-iQo - -1.
Допустим, что равенство справедливо д#|§ некоторого i, 0 < i < s. Тогда,
используя (5.74) и (5.75), получ#
PmQi - PiQ
их
(AuxPt-
- (PrQi .i
Р?-l) Qi Рi Hi+lQ
- Pi.m-i *>¦
•'Xjk
i <' s, имеет место
согласно предположению индукции.
5.58. Следствие. Для любого 1, 0 ство НОД (Pi, Qi) - i.
Доказательство. Если для О s положить dt - НОД (Д|
Qf), то нз леммы 5.57 получаем, что многочлен di делит (-1)? так что di -
1.
Теперь мы можем рассмотреть приложения непрерывны дробей к изучению сумм
значений квадратичных характер# с полиномиальными аргументами. Пусть f ?
Fq 1х] - многочл# положительной степени, не имеющий корней в поле [Рд
нечетщ характеристики, и пусть G (х) хр - х. Положим F (х) Щ _ / (#)(*-
0/2 и рассмотрим разложение в непрерывные дробй следующих двух
рациональных функций над
F(x)-l
и
G(x)
F (х) + ! G(x)
[Л0, Аъ
АЛ
г '
at]-
Пл\
а$. Определим % как наибольшее целое число -- at для i О, I, ..., т.
Равенства rif =- s - ¦§
Ясно, что Ап -такое, что А,
не могут выполняться, так как в таком случае указанные ональные функции
совпадали бы. Следующий результат, однакОЦ показывает, что представляющие
их непрерывные дроби весьм# близки.
5.59. Лемма. При указанных выше условиях имеет место из двух
возможностей: либо rtf - s - t - I, либо n f - t = s
< i<'<v'
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров
293
Доказательство. Определим Pt и условиями (5.74) и (5.75) и аналогично
определим pi и qh используя aj вместо Л j в (5.74) и (5.75). Согласно
следствиям 5.55 и 5.58, рациональные функции PJQ.6 и рЛ* соответственно
являются приведенными формами рациональных функций (F (л) - l)/G (ж) и (F
(.х) 4~ 1)/G (ж), заданных разложениями (5.76) и (5.77), так что
п {v\ _ . п = b*G (*)______________________________________________
4 {Х} " НОД (F (X) - !, G (х)) ' Pi W НОД (F (х) + !, G (х)) *
(5.78)
где bu &2 С F5- Каждый элемент с С является простым корнем многочлена G
(ж), и других корней О (ж) не имеет. С другой стороны, для каждого с ? по
предположению / (с) Ф 0, так что f = 1, и, следовательно, многочлен G
(л?) делит f (х)я~{ - - 1 = (F (ж) - 1) (F (х) 4~ 1)- Значит,
НОД (/?(*) - !, G (х)) ¦ НОД (F (ж) + 1, G (ж)) - G (ж),
и из (5.78) вытекает, что
Qs (х) qt (х) = bG (ж), где q = b{b2 € FJ. (5.79)
