Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 110

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 371 >> Следующая

? Хх (ci)
2 (^i)
c1 f ^
t t *
Для фиксированных элементов сь ..., ck ? Fg решений (Сй+1, ck) уравнения
ck+x + Н - Сн- Поэтому
2 (ci)
T ¦ • * ch € Fq
? Mci)
q
Ай (Cft) -
Xh (^k)'
существует qk~&
Ok = 1 C-t -
m
i
m
;
h;
. .rs
ли
/• is5V
!?"!
* Щ}
¦ Щ
* s .">C:s\
J (Aj, ..., Afc) - q
ft-ft-1
* * t
hi (fi,)
Si:?
m
^ qk-h-
* * *
ci€F
2 'Xh
Ch 6 fq /
0,
< , о ¦¦¦¦$"
: s '
' s.. ¦;ir
Аналогичное рассуй
0.
Ш
где последнее равенство вытекает из (5.37). дение показывает, что и J0
(Аь ..., Хк) =
Для исследования случая, когда все характеры Xt нетри*^р альны, нам
понадобится один результат, связывающий сум J0 (Аь ..., Afe) с суммами
Якоби.
5.20. Теорема. Пусть Аь ..., Afe - мультипликативные ракшры поля
причем характер Xk нетривиален. Если п$|||
этом характер Хг ... Afe тоже нетривиален, то
Jq (Ai, ..., Afe) - 0, (5.41):
если же характер А* ... Afe тривиален, то
*А)(Аь ¦ ¦ •, Afe) - Ай ( 1)(^ 1 )i(Aj, ..., Afe_i). (5.
Доказательство. Так как случай k = считать, что k ^ 2. Тогда
. •• •
1 тривиален, то можнаЧ
Jq (Aj, . . . , Ай) - 2
s
a6Fq ^^+ - +^-1"-(r)
2 ^-a (Ai, * • ¦ , Afej) Ай (й).
Q6Fq
Ai (п) * * ¦ ^ft-i (cfc-i)) Хк (a)
Поскольку (в силу нетривиальности Afe) Xk (0) (5.38), получаем
Jb (^i> * ¦ *" Ай) - 2 *^-a (Ai> ¦ ¦ * * Aft_i) Afe (a) -
0, то, прнменя:
- . .W
• *• • iti
ill
:W
.SI* ь *y ..
•: >•>* jftsjj;
¦¦'"M
•I
.ад

улСЙ
,;Й5
Y •"ft
§ 3. Суммы Якоби
259
J (X*, ..., Xfc_j) 2 (Xi * • * ^ft-i) ('-a) Xft (й)
a€F*
- (Xi ... kfc_i)(-V)J (Xi, ..., X&_i) *
* 2 (Xi . . . ^k-l^h) (<*)¦
a€F;
Теперь если характер Хг ... Хк нетривиален, то в силу (5.12) последняя
сумма равна нулю н равенство (5.41) доказано. Еслн же характер Xj ... Хк
тривиален, то последняя сумма равна ц - 1. Равенство (5.42) тогда
вытекает нз следующих равенств: (Xi ...
A*-i) (-1) - {-1) = (-1); последнее нз них обусловлено
действительностью числа Хь (-1), поскольку Хй (-I)2 = Xh (1) = = 1. П
В случае когда все характеры Xt нетривиальны, существует важная связь
между суммами Якоби и суммами Гаусса, которая позволит нам вычислить
абсолютные величины сумм Якоби.
5.21. Теорема. Пусть Хь ..., Хк - нетривиальные мультипликативные, а % -
нетривиальный аддитивный характеры поля F$. Тогда если характер Хг
... Хк нетривиален, то
т /1 1 \ ^(Xxt X) * * • G (А>?, X) . /с
j {xlt ..., хк) - gjk xh, х) * ( }
если же характер Хх ... Хк тривиален, то
J (Х1( ..., Х&) - -Х^ (-1) J (X^ ..., X&_i) -
= -3-G(XI, X) ... G(Xk, x). (5.44)
Доказательство. Ввиду нетрнвиальности каждого характера X имеем Xt (0) -
0, так что
с (х" х) = 2 Mc,h(ct).
ei е гя
Поэтому
^ (Xi, х) ¦ *. g (Xft, %) - ( 2 (ci) х (ci)) * • * ( 2 4k (cj0 x fe)) -
\ci e 1 W 6 rq I
= 2 Xj (Cl).. .Xh (ck) X (Cl -f '¦ -f Ch)
ei* ¦¦¦* F^
~ 2 x (^) 2 Xj_ (pi)... x& (c^) -
17*
260
Гл. 5. Тригонометрические суммы
йа
*1
t
Шi
Если характер Хх ... Хк нетривиален, то в силу (5.41) (Хь Хк) - 0, и иа
основании (5.38) получаем
G(h, %) G(Xk, %) = J(Xlt ..., Х") J] (Xt ... Xft)(fl)x(a) =
*er;
~ 7(Xls . .., Xk) G (Aj ... Xft, x)*
Здесь G (Xt ... Xft, x) Ф 0 в силу (5.15), поскольку характй Xt ... Xh
нетривиален, и тем самым равенство (5.43) доказан^!
Если же характер Xj ... Xh тривиален, то ввиду (5.38) нмееГ Т а , ¦ ¦ *.
{Xj>
Хк) = J (Хг, ..., XjJ для всех а ? FJ, и поэтому
"{"(? - (Хц ¦ ¦ ¦> Xfe) - Ja(Xit ¦ ¦ - , Xft) =
aerg
- 2 Xj (c*) ... Xft (ch)
6 fq
- ( 2 (ci)^ ¦ ¦ * ( 2 fcfe)
... i*
••"ii
С ¦* 1 . ¦ . f
•V#
¦M
ci€F,
где в последней равенстве использовано (5.37). Отсюда, примен
(5.42), получаем первое равенство из (5.44). Кроме того, ввй
нетривиальности характера Хг ... Хк_г мы можем примени
(5.43) и получим
j / j \ т1 Хй ( .1)0^. х) • ¦ ¦ ^ (Xft_i* X)
- Xft(-i)<j(Xr, х) ¦ ¦. Q(Xft,i> %)^(Xft, х) _
<3(Xft, x)G(Xft, x)
1
tt
; щ
i\fu
' '*5
М
vtfS
• ""У,
VsVtf
.• г4**
<7
G(Xi, х) * • • G (Хй, х).
используя на последнем шаге теорему 5,12 (iv). Таким образом! доказано и
второе равенство из (5.44).
5.22. Теорема- Пусть Xlt ..., Xft - нетривиальные мульпЩ пликативные
характеры поля f". Тогда если характер Х\ ... X
т
< :-.V?
нетривиален, то
\j<b, .... К)I = я1к-')р-.
(5.
' :.:-Г
есл" же характер Хх ... Xft тривиален, то
(/(*,, .. ., X") I = 9<'-2>/2. (5.41
Доказательство. Равенство (5.45) вытекает из (5.15) и
(5.43)
а равенство (5.46) - из (5.15) и (5,44). ^
5-23. Следствие. Если Хь ..., Хк - нетривиальные мульти
пликативные характерны поля Fg и характер Хх ... Xft mptwu ален, то
|Л(Ч. .... х*)| = (9-1) ?<*-2>/2.
•Ш
<• С*
..•АгёгЧ
§ 3. Суммы Якоби
261
Доказательство. Утверждение вытекает из (5.42) и (5.45). ?
5.24. Пример. Дадим еще одно доказательство квадратичного закона
взаимности (см. теорему 5.17), применяя свойства сумм Якоби. Пусть р я г
- различные простые нечетные числа, tj- квадратичный характер, а Xi -
кайоинческий аддитивный характер поля Fp иС = G (тр Xi)- Определим сумму
Якоби J для поля f равенством
/ = / (ц, ..., л) = Е Л (Ci) • * - Л (сг).
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed