Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 109

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 371 >> Следующая

простое число и г) - квадратичный характер поля Fp, то для сфО (mod р)
символ
Лежандра определяется равенством - т] (с).
5Л7. Теорема (квадратичный закон взаимности). Для любых различных
нечетных простых чисел риг имеет место равенство
(тО (т)=
Доказательство. Пусть г| - квадратичный и ул - канонический аддитивный
характеры поля положим G = G (tj* Xi)* Из (5.25) вытекает, что G2 = (-
1)<р-*>/2р = р, так что
Or = (G2) (г-о/я Q = pir-WG. (5.35)
Пусть R - кольцо целых алгебраических чисел, т. е. R состоит из всех
комплексных чисел, являющихся корнями нормированных многочленов с целыми
коэффициентами. Поскольку значения (как аддитивных, так и
мультипликативных) характеров конечных полей являются комплексными
корнями нз единицы, а каждый такой корень является целым алгебраическим
числом, то значения сумм Гаусса являются целыми алгебраическими числами.
В частности, G ? R. Обозначим через (г) главный идеал кольца R,
порожденный числом г. Тогда фактор кольцо R !(г) имеет характеристику г,
и применение теоремы 1.46 дает
&=( Е 4(c)Xi(c)Ys Е Пг (с) X' (с) (mod (г)).
Далее,
Е rf(c)X'(c)= Е Л (с)"(С) = G (Г], УУ) = Т) (/) G,
с€Г} "ег;
гДе в последнем равенстве использована теорема 5.12 (i), так что
O' = г) (г) G (mod (г)),
256
Гл. 5. Тригонометрические суммы
Объединяя это с (5.35), получаем
p{r-i)/2Q =1^ (г) G (mod (г));
умножение на G приводит к сравнению
р(Г~\)/2р ^ к] (г) р (mod (г))>
так как G3 - р. Поскольку обе части последнего фактически являются
элементами кольца Z целых чисел, получаем сравнение в этом кольце;
р(г-п/2р = ^ р ^mocj ry
Поскольку число р взаимно просто с г, то отсюда получаем ненне
ъ'Я}
.
. (S'i
• . .J* :•?
. . tf
• *
• * •
- ' - 9
: :л^:; 1
; ^ v:i 'Ж • С.. ••
та
t] (/¦) (mod г).
Vs:.
I-V .
: hfi
Далее, умножая на получаем в силу равенства
- ^-1 ){р-5)/2р и сравнения рг~1 = 1 (mod г) (см. упр. 1.9),
(-(г-п/4 = p(r-i)/an(,.) (modг).
Поскольку р(г Н/2 == (mod г) и знак + имеет место и только тогда, когда
число р сравнимо по модулю г с нею квадратом, то
p(r 1 )/2 = ^mQ(J
Так как ц (г) = ("^)* то из (S.36) получаем
(_1)(р-|) (/¦-D/4 = (modг)..
(5..
JcT
. *о fit
$
?• С* %

.№
Но целые числа, стоящие в разных частях этого сравнения, гут быть лишь
±1, поэтому ввиду того, что г ^ 3, сравнение полняется лишь тогда, когда
эти числа совпадают;
§ 3. Суммы Якоби
••• •'%*$ *
Если X - мультипликативный характер конечного поля то он определен для
всех ненулевых элементов этого поля, нако полезно распространить его
определение на все поле положив X (0) = 1, если X - тривиальный характер,
и X (0) = если X - нетривиальный характер. При таком доопределей
*,(<?) =
*ег
q, если X тривиален,
0, если X нетривиален.
0*
' !*• • Л
-. -п
>%5
§ 3. Суммы Якоби
257
Кроме того, теперь условие А (аг, аг) - X (ах) X (а2) выполняется
для всех ах, at ? Fq.
Пусть заданы к мультипликативных характеров А1( Xh поля FgC и пусть
Зафиксирован некоторый элемент а ? Fg.
Определим сумму
^а (^1" * * * * ^ h) ~~ ? Ai (^l) • ¦ * Aft (^й)"
!-с^==а
где суммирование ведется по всем ^-наборам (сь ..., ск) элементов поля
0дг таким, что сх + + ск - о. Таким образом, эта сумма
содержит qk~~{ членов.
Если а Ф 0, то мы можем положить сх ~ аЬъ ..., ch = abh, Тогда bx [ ... +
- С и мь! получаем
•faQ1* 1" * * * * 'Ч (flfri) * ¦ * Хк (abk) =
= Xx (a) ... Aft (a) ? Xi (&i) . . . Xh (bh) =
---
- (A^ ... Aft) ip*) Ji (Ao * * *" ^й)* (5.38)
В силу этого простого соотношения достаточно рассмотреть лишь две суммы:
J0 (Хх, ..., Xk) и Jx (Ai, ..., Afe). Вторая нз них более важна для
приложений, поэтому мы для нее будем использовать более простое
обозначение.
5.18. Определение. Пусть заданы к мультипликативных характеров Аь ..., Xh
поля fg. Тогда суммой Якоби для ннх называется сумма
J (А^, ..., Ай) ~ J] Aj (?д) ... Ай (Иг)*
где суммирование ведется по всем ^-наборам (с1( ..., ск) элементов поля
FQj таким, что сх + ... + ch - 1.
Если k = 1, то J (Ах) = Хх (1) = 1 для любого мультипликативного
характера Хх поля Fq. Поэтому суммы Якоби представляют интерес лишь для
2. Из определения сразус вытекает, что значение J (Хх, ..., Ай) ие
зависит от порядка, в котором выписаны характеры А*. То же справедливо н
для J6 (Аь ..., Ай).
Сумма Якоби J (Х1т ..., Ай), а также и сумма J0 (А1( Afe)' легко
вычисляются, еслн некоторые из характеров Xt тривиальны.
5.19. Теорема. Если все мультипликативные характеры Аь ... ¦**. Xk поля
Fq тривиальны, то
J{Аь .... Xk) = JQ(Xx, ...,Aft) = ^-C (5.39)
Если же некоторые (но не все) из характеров Xt тривиальны, то
J (Аь Ай) - J0 (Alt ..., Ай) - 0. (5.40)
^ Зак. 222
258
Гл. 5. Тригонометрические суммы
Доказательство. Равенства (5.39) очевидны, так как в
случаях мы имеем сумму qk~x членов, каждый из которых равен (
Для доказательства (5.40) предположим, что характеры вып саны в таком
порядке, что Аь Хн нетривиальны, а Аа+1, :" ..., Xh тривиальны, где 1 < h
< k - 1, Тогда
к
К?
ш
J(Aj, . - *,
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed