Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
сомножитель
-G (ф. Xi) 6 (ф, Xi) = -Ф ("1) Р-Таким образом,
(р-3)/2
det (Т) - -О (ti, Xt) (-р)<Р^№ П +,(-1). (5.27)
М
Далее, так как ф/ (-1) - ф( (-1) - (-1)Д то
<р-3)/2
Д фД-1) = (-1)1+а+-+(р-э)/а = (- i)(p-i) (р-Э)/8, (5.28)
if=i
Кроме того, поскольку
*Чр-1)*/4
1, если р = 1 (mod 4), if если р = 3 (mod 4),
получаем из (5.25), что
Учитывая равенства (5.27), (5,28) и (5.29), получаем, что
det (Т) ± (- 1)СА-IJ/2 4 <Р 3) /8 р(р-2)/2
= -j- (_l)(p-l)/2t'(P(tm)I)3/4+(p-l) (Р-3)/4р(р-2)/2(
т. е.
det (Т) = ±(~ 1)(Р"1)/2/(Р~1) (p-2)/2p(p-2)/2t ^
Теперь мы вычислим определитель det (71), задавая матр^ оператора Т в
базнсе Д, Д, /p_i. Из (5.26) находим, что
det (Г) = det ((?/*></, к<Р~\) = det ((?/?/ (*-&<p-i) =
= ?1+2+-+№-1) det ((?/ k<P-i) -
= det((tf('-i))1<;it< л,
•л-4'
det (Г) = П (?-
Cm).
При 6
- eni№ мы получаем det (Г) = П (б2"
б2"1)
j~| g/i+m __ =
i<m<n<p-1
П 8п+" П (2<
K/7i<ft<p- 1 \^m<n<z_p~\
sin
n(n - m)
p
)•
Так как
1 <ГО <Л <р-1
р-I тг-1
(n+m) = 2 У("+яг) =
я-2 m=t
з P_I 2
л-2
L fp
=4У"("-1)
з
2
2) (р - I) (2р
р-2
2
Я=!
-3)
6
+
(р~2) (р - I)
)
Р(Р- 1) (Р - 2)
ЧЛ''
¦V?
Ж
'Л>1|.
т. е. del (71) является определителем Вандермонда. Поэтому^
S .6.
' 'й'1
>41
' ''
•is<i
*
*
¦ViJ*
S -M*
ro первое произведение равно
gp<p-l> (р 2)/2 = ?-1)(P-I) (Р-2)/2 ~ ^- 1(Р-2) (р-1 )/2 _ ? 1)<р-1>/2,
Кроме того,
А= П (2 sin
l*?m<rc<p- ]
я {л - т)
)>0,
>у.аi;
¦ ¦ '"Ы
¦¦¦Hi
. * <Щл\
•1 /л,
§ 2. Суммы Гаусса
253
так что
det (Т) - (-1)<р-0/2/(р~п(р-2)/2>|) где д >
Сравнивая это выражение с (5.30), мы видим, что в равенстве (5.29) всегда
следует брать знак -Г. Это доказывает теорему для случая s=l.
"Общий случай сразу получается из теоремы 5.14 ввиду того, что
канонический аддитивный характер поля 0-4, поднимается до канонического
аддитивного характера поля fq (по формуле
(5.7)), а квадратичный характер поля Fp поднимается до квадратичного
характера поля р^. ?
Учитывая формулы (5.14) и теорему 5.12) (i), можно вывести формулу,
аналогичную указанной в теореме 5.15, для суммы Гаусса G (r\f х) с любым
аддитивным характером % поля рд.
Получим теперь формулу для другого частного типа сумм Гаусса, применимую
для более широкого класса мультипликативных характеров, ио требующую
некоторого ограничения иа основное поле. Будем использовать понятие
порядка мультипликативного характера, введенное в замечании 5.13.
5,16. Теорема (теорема Штикельбергера). Пусть Xi - канонический
аддитивный характер поля р^, где q - некоторая степень простого числа, и
пусть ф - нетривиальный мультипликативный характер того же поля, причем
порядок т этого характера делит число q -f~ /. Тогда
G0t>, Xi)
q 4- I
iесли m нечетно или -- четно;
т ш
а + I
а, если т четно, a ~LJ- нечетно.
1 т
Доказательство. Положим Е ~ р^ н F ~ fq. Пусть у - примитивный элемент
поля Е, и пусть g = Тогда - 1, так что g С Е\ более того, g является
примитивным элементом поля F. Каждый элемента С Е* можно записать в виде
а = glykf
где 0 < / < q - 1 и 0 < & < q -f- 1,Так как ф (g) := ф*+! (у) = 1,
то
G (¦. Xi) = Ё Е Ф (ffV) Xi (gV) =
/*=0 к-0
= Е Ф* (v) Е xi (s'yk) =
fe==0 /=0
= Е ¦* (V) Е ь (by*). (5.31)
k-Q А € F*
Гл. 5. Тригонометрические суммы
Если Tj - канонический аддитивный характер поля F, то, гласно (5,7), %i
(Ьук) - %\ (Тге/f (byk)). Поэтому, учитывая орему 2.23 (ii) и (5.9),
получаем
№
:%т
2 xi (V)
ь?г*
2 *1 (t> ТгЕ/г (у*)) =
ь?р*
-1, если Тгя/р(у^)^0, I, если ТтЁ/р{ук) - 0.
•'{?<
0
> к±&.
• Л
Поскольку по определению следа TrE/F (у*) = ук + уЧ Тгbjf (у*) = 0 тогда
и только тогда, когда у* = -1. (5,
Если число q нечетно, то последнее условие эквивалент равенству k - (q -
j- 1)/2, и тогда из (5.32) получаем
I ¦
прн 0<&<<Н 1 ^-Н
rSi
,v Ld №
^ та
Xi (6?*)
1
1, h=jb
2
? - I при k
Поэтому нз (5.31) следует, что
й
те*
о ". "о
Ч
2 ф'(7) + <7'1'и'1)/а(7)
k=0
q\|з<*+1)/2(у),
:Т>
А!-.
пор яде
так как f (у) ^ 1 и (у) - 1. Далее, поскольку m характера ф, то значение
tjjtf-M)/2 (у) = -1 может получить
лишь при четном m и нечетном (q + 1)im (так как тог t)j(4f+t)/2 (V)
(т))"Ж>/т ^ (-|)С^+0/т = Пбрев.).
всех же остальных случаях tjji?-H)/3(y) = 1. Поэтому для нечетно числа q
получим
я 4-1
о, если m нечетно или ¦ г -
. * m (5
а ------------------------ - "+1
четно,
;/1
¦Vi
если m четно и
m
нечетно-
*>!*
Если же число q четно, то равенство уМ?-п = -1 в (5 эквивалентно
равенству yM?-i) ^ 1, и единственным числом 0 k < q -f- 1,
удовлетворяющим ему, является к = 0. Поэто из (5.32) получим, что
-1 прн 1
;rv|
• W4
¦m
§ 2. Суммы Гаусса
255
л ¦ I |И| 1
а тогда из (5.31) вытекает, что
goi>, xi) = - Е (?)+ч - 1 = - Е (?) т я = я-
k~0
1
Объединяя это с (5.34), получаем искомый результат. ?
В заключение покажем, как можно использовать суммы Гаусса для получения
одного классического результата теории чисел, а именно квадратичного
закона взаимности. Напомним (см. пример 5.10), что если р - нечетное
