Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
----}------ с1+--'+сг=1
Поскольку - тривиальный характер, то из второго равенства (5.44) получаем
0Г+* ^ (_i) pj - pjt где р - (-1)<^-i)^2p.
С другой стороны, G2 р (из доказательства теоремы 5.17),
так что
G'-И = (<}2)(М-1)/2 - p(r+\)f2f
Сравнивая, получаем, что
J = р(г-и/2_ (5.47)
Теперь рассмотрим члены суммы J. Поскольку характер у\ принимает лишь
значения 0 и d=l, то каждый член суммы J является целым числом. Если сг =
... сг - с, то с должно быть равно гХ С FP> и соответствующий г-набору
(с, ..., с) член суммы J имеет значение tf (r~l) = tj (г-1) = rj(r). Если
же элементы ct не все равны между собой, то существует г различных г-
наборов, получаемых из (сь ..., сг) циклическими перестановками.
Соответствующие им члены суммы J должны совпадать, и, таким образом,
сумма этих г членов будет сравнима с нулем по модулю'г. Разбивая сумму J
на такие группы слагаемых, мы получим, что / = п (г) (mod г). Вместе с
(5.47) это дает
p{r-1)/2 = ^ ^ (mod г).
Завершение доказательства проводится так же, как и в теореме
5.17. ?
5.25. Пример. Докажем с помощью сумм Якобн, что каждое простое нечетное
чнсло р, которое сравнимо с 1 по модулю 4, представимо в виде суммы
квадратов двух целых чисел. Поскольку 4 делнт число р - 1, то из
следствия 5.9 вытекает существование мультипликативного характера Я поля
iFp, имеющего порядок 4 (определение порядка мультипликативного характера
см. в замечании 5.13). Тогда Я может принимать лишь значения 0, ±1 и ±i,
поэтому ясно, что для квадратичного характера г) = Я2
/ (Я, т]) - Е ^ (с*) г) (Cg) ~ Л + Si,
1
262
Гл, 5. Тригонометрические суммы
где А И В
некоторые целые числа. На основании (5.45)
P = \J (А., г|) Is - А2 + В\
Ч
. */.L
и утверждение доказано.
Заметим, что простое нечетное число р, сравнимое с 3 по дулю 4, нельзя
записать в виде суммы двух квадратов ц чисел, так как квадрат целого
числа сравним по модулю 4 ли с 0, либо с I; поэтому А2 + В2 никогда не
может быть сравнимо <| по модулю 4. Что же касается единственного
простого чисд! не рассмотренного выше, а именно р - 2, то оно, очевидно,
явд: ется суммой двух квадратов целых чисел, поскольку 2 - 1*
+ I2*
Существует аналог теоремы 5.14 для сумм Якоби. Будем сш употреблять
понятие поднятия характеров, введенное перед ремой 5.14.
5.26. Теорема. Пусть Л1( Xh-мультипликативные рактеры поля Fg, не все из
которых тривиальны. Е< Х\, Ik - соответственно поднятия характеров Хг,
Хк до конечного расширения Е поля F^, где [Е : F^] - s,
J(Xu .... = .....,4)'. (Si
Доказательство, Заметим, что поднимая тривиальный рактер, получаем снова
тривиальный характер, а поднимая внальный, получаем нетривиальный.
Поэтому если какой-л из характеров Хг тривиален, то обе части равенства
(5.48) ран нулю, согласно (5.40). Если все характеры Xlt Xk нетрй альны и
характер Хг ... тоже нетривиален, то для некоторр нетривиального
аддитивного характера % поля fq из (5. теоремы 5.14 следует, что
¦< IV
'-ЛЧ
-
J (4................4) =
0(4, X') ••• 0(4, X')
(
g (М ... 4. г)
х)'
* < ¦
(-1 )*-* О (А*, X)
(-1)" 1 G(Я, ... Xk, х)'
= (-l)(s-1 >.... 4)*.
Если же все характеры Xt нетривиальны, но характер Хг .. тривиален, то из
(5.44) и теоремы 5.14 вытекает, что
• ';
¦ Щ
¦ '¦ щ
4
A:J} u s SJ
* !>
J (Я], ..., X'k)
t
0(4, %') ¦¦¦ G(li, X') =
(_1)(.-|)'C(4. x)s 0(4, xY
; * Ki
". Л"
•, .1*:
¦M
'¦ъ
§ 3. Суммы Якоби
263
= (-l)*-" 4(-l)~ <-¦>(-J-Ofc. х) • • • Gfa, x))
= (-1 J (X.....>.")".
?
Для случая k = 2, который часто встречается в приложениях сумм Якоби,
можно установить несколько результатов, представляющих особый интерес. Мы
снова б^дем употреблять понятие порядка мультипликативного характера,
введенное в замечании
5.27, Теорема. Пусть X - мультипликативный характер поля (р5, имеющий
порядок т 2, и пусть % - нетривиальный аддитивный характер того же поля.
Тогда
G (X, t)m = X (-1) qJ (Я, X) J (X, X2) ... J (X, Х(tm)~*). (5.49)
Доказательство. Сначала допустим, что m ^ 3. Тогда из (5.43) получим
Перемножая между собой все эти т - 2 равенств, получим
Так как Хт - тривиальный характер, то = X, откуда в силу теоремы 5.12
(iv)
Перемножая равенства (5.50) и (5.51), получаем требуемый результат. Если
же т = 2, то пустое произведение сумм Якоби в правой части
интерпретируется как 1, и тогда результат содер-
Другой результат для k -- 2 приводит к замечательному соотношению между
суммами Гаусса. Для аддитивных характеров будем употреблять обозначения,
введенные в теореме 5.7.
5.28. Теорема (соотношение Дэвенпорта-Хассе). Пусть X и Ф -
мультипликативные характеры поля причем X имеет порядок т^ 2, а характер
нетривиален, и пусть %ь - нетривиальный аддитивный характер того же поля.
Тогда
а <*, х) G (?У, х)
о(я/+\ х)
=- J (X, XI) для 1 <[/ -< m - 2.
G (X, X) G а"-', X) -- (-1) q.
(5.51)
жнтся в равенстве (5.51).
?
т-1
264
Гл. 5. Тригонометрические суммы
• щ
Ж
5.29. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 5.28. Т&4 еда для.
