Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
при постоянном г.
Если мы хотим теперь определить возможные равномерные вращения тяжелого гироскопа, то все сведется к тому, чтобы посмотреть, существуют ли для уравнения (34,) при условиях (41) такие решения К, для которых выражение (65) вектора <о будет постоянным; неизменность угловой скорости можно выразить безразлично, как по отношению к неподвижным осям Olrfc,, так и по отношению к подвижным осям Oxyz (т. I, гл. IV, п. 11).
Если напишем, что производная от м по времени, вычисленная относительно неподвижных осей, равна нулю, и примем во внимание уравнение (34j) и известную формулу Пуассона
?“»Х*. (8)
то придем к уравнению
[(Л — С) гт — Pz0K] X k = 0, (66)
9 Зан. 2368. Т. Леви-Чивита а У* Амальди
130
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
из которого следует, что вектор
(А — С) го) — Pz0K
(67)
для всякого возможного равномерного вращения тяжелого гироскопа должен быть параллельным вектору k или равным нулю.
Первый из этих двух случаев приводит к результату, непосредственно очевидному. Действительно, параллельность вектора (67) с единичным вектором k заключает в себе то, что этот вектор, вместе с векторами х и ю, должен оставаться неподвижным в пространстве; а так как во вращательном движении единственной неподвижной прямой является ось вращения, то отсюда следует, что эта ось совпадает в теле с гироскопической осью.
откуда следует, что оба единичных вектора х и k направлены по одной и той же прямой и могут отличаться только стороной, а потому и гироскоп должен вращаться вокруг своей оси симметрии, расположенной вертикально (вверх или вниз).
Обратно, если ось гироскопа находится в этом положении, то все условия задачи удовлетворяются, как бы ни выбиралась величина г (постоянная проекция угловой скорости на направление вектора ? = ±х), так как уравнение (65) во всех случаях (т. е. при любом выборе г) определяет, при ta = rk и х = ±й, вектор AT, который, как это следует из вычислений, аналогичных сделанным ранее для. общего случая, должен удовлетворять уравнению (34х).
Таким образом, мы приходим к заключению, которое можно было-предвидеть заранее, что тяжелый гироскоп, ось которого расположена по вертикали вверх или вниз (т. е. в одном каком-нибудь из его положений равновесия, т. I, гл. XIII, п. 23), может вращаться вокруг этой оси с произвольной постоянной угловой скоростью.
Заметив это, перейдем к исключенному ранее случаю, в котором: вектор (67) будет равен нулю, т. е. положим
Так как отсюда следует, что векторы ю и х имеют одно и то же направление, то мы опять будем иметь вращение вокруг вертикали; поэтому если мы не хотим возвращаться к разобранному ранее случаю, гироскопическую ось надо предполагать уже не вертикальной. Положим в этом случае
т. е. обозначим через v проекцию угловой скорости на вертикаль, направленную вниз (т. е. -j- ш или — <о в зависимости от того, будет ли
(А — С) го) = Pz0X.
(68)
0) = VX,
(69)
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
131
вращение правым или левым), и обозначим, как обычно, через 6 постоянный угол нутации y.k (отличный от 0 и тс), так что
г = VCos 6. (70)
Подставляя в уравнение (68) вместо ю и г эти их выражения, мы увидим, что vhO связаны между собой условием
(А — С) V2 cos 0 = Pz0. (68')
Обратно, всякий раз как два действительных числа 0 и v будут удовлетворять уравнению (68'), будет удовлетворяться благодаря равен*-ствам (69), (70) и уравнение (68). В силу этого момент AT, определенный из уравнения (65), даст решение уравнения (34j), т. е.
тяжелый гироскоп, расположенный таким образом, что его ось образует угол 0 с нисходящей вертикалью, может действительно вращаться около нее с угловой скоростью V.
Поэтому можно произвольно задавать 0 или v, лишь бы, конечно, обе эти постоянные были действительными; легко видеть, каково как в том, так и в другом случае должно быть ограничение, вытекающее из этого условия действительности.
Предположим сначала, что мы задаем угол 0, проводя внутри тела через точку О ориентированную прямую, которую мы хотим иметь в качестве оси вращения, направленной по вертикали вниз. Для того чтобы уравнение (68') определяло соответственно угловую скорость V действительного вращения, необходимо, чтобы оно для ¦V2 давало положительное значение, т. е., так как Z0 > 0, чтобы было
(.А — С) cos 0>О.
Таким образом, мы видим, что всякая прямая в теле гироскопа, проходящая через неподвижную точку и не являющаяся экваториальной осью инерции (0 ? "/2), может быть осью перманентного вращения гироскопа, если только она направлена по вертикали в ту сторону, которая с осью гироскопа OG образует угол 0, острый или ту пой г смотря по тому, будет ли Л > С или А < С. Другими словами, при равномерном вращении тяжелого гироскопа .(когда его ось не является вертикалью) центр тяжести всегда остается ниже или выше горизонтальной плоскости, проходящей через закрепленную точку, смотря по тому, будет ли симметричный эллипсоид инерции относительно точки О растянутым (А > С) или сплюснутым (Л<С).
