Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 47

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 230 >> Следующая


Чтобы убедиться в этом, заметим прежде всего, что при предположении г = 0, т. е. когда исключается вращение вокруг гироскопической оси, положение гироскопа в пространстве будет вполне определено направлением в любой момент гироскопической оси или, другими словами, значениями, выраженными в функциях от времени, сферических координат в и X (широты и долготы) вершины (п. 27) и, кроме того, начальным положением тела относительно подвижных осей.

Далее, направляющие косинусы ag, рз, Y3 гироскопической оси Oz относительно системы координат 0?т]С определяются в функциях от & и X равенствами

а3 = sin0 cos х, P3= — sin Qsinx, Ys3=cosQ*

Сравнение с выражениями тех же самых косинусов в функции от двух углов Эйлера 0, ^ (т- h гл* HI, п. 32)

a3 = sin 0 sin ф, Рз = — sin 0 cos Y3 = cos ®

показывает (как, впрочем, можно было бы убедиться и прямым путем на основании геометрического значения различных рассматриваемых углов), что широта О действительно совпадает с первым углом Эйлера и что Xй '1' связаны соотношением х^Ф —

После этого мы сразу же видим указанную эквивалентность настоящей задачи с задачей о сферическом маятнике. Заметим при этом, что, за исключением физического значения постоянных, выра-
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП

115

жения живой силы и потенциала в той и другой задаче имеют один и тот же вид в обобщенных координатах І и ][,

Действительно, в случае сферического маятника, обозначая через M1 массу, через I—длину и принимая во внимание тождество X = ф — те/2, будем иметь

T=Y Tti1V2 = ~ Tti1I2 (Ь2 -|- ф2 sin2 6), U — ff2.,gC = tn^glcos 0; а для гироскопа живая сила при г = О определяется равенством

Г = ІД(р®+0»).

Принимая во внимание (т. I, гл. III, п. 34), что

р = 0 cos <р -J- ф sin 9 sin б, q — — 0 sin «р -J- cos ? s*n можно написать

7 = і л (62 + ^2Sin2 0),

потенциал же имеет следующее выражение:

U = mgz0 cos 0.

Очевидно, уравнения Лагранжа, соответствующие этим двум задачам, совпадут, если отождествить длину I сферического маятника с количеством A/mz0, имеющим размерность длины.

30. Исследование резольвенты. Исключим теперь на основании замечания предыдущего пункта случай 1 = 0 и ограничимся исследованием решения уравнения (48) только с качественной стороны. Такое качественное рассмотрение основывается на исследовании корней (действительных) многочлена третьей степени в правой части (48)

(I — S2) (5 — h — ск2) — (cAs — k)2,

который мы будем обозначать для краткости через f(s) или, если хотим выявить постоянные (интеграции), от которых он зависит, через f(s I A, h, k).

Многочлен / (5) при s, стремящемся к — оо, стремится К 4-00 и, за исключением двух случаев, когда cX = ±k, принимает отрицательные значения как при 5 = — 1, так и при s = l; отсюда следует, что этот многочлен, по крайней мере при указанном исключении, допускает один действительный корень, меньший — 1. С другой стороны, во всяком движении гироскопа 5 = cos 0 остается всегда заключенным между — 1 и -J- 1; к этому интервалу должно

8*
116

ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

принадлежать и начальное значение S0, и так как для действительности движения необходимо должно быть / (S0) ^ 0, то S0 обязательно будет отличным от крайних значений —1 и +1.

Если /(s0) > 0, то из предыдущих рассуждений непосредственно следует, что трехчлен /(s) допускает три действительных простых корня (фиг. 18), заключенных соответственно в интервалах от —оо до —1, от —1 до S0 и от S0 до -j-І (за исключением концов).

Если, наоборот, / (s0) = 0, то возможно, что S0 является двойным корнем многочлена; но в таком случае, так как всегда существует третий корень вне интервала от — 1 до -j-1 (именно,

корень, меньший — 1), /($) в этом интервале не может уже менять знака и поэтому будет постоянно отрицательным, как и на концах (исключая точку s = S0, в которой нуль будет второго порядка).

Если, далее, S0 есть простой корень многочлена /(s), то из общего исследования, проведенного в § 6 гл. I, будет вытекать, что функция s(f), определенная уравнением (48) и начальным значением S0, имея также нулевую производную вначале, не будет все же постоянной, и потому найдутся моменты t*, а значит, и положения s*, в которых в силу действительного характера движения будем иметь /(S*) > 0; поэтому и здесь, как и в случае / (s0) > 0, мы заключаем, что многочлен допускает три простых корня, из которых два являются внутренними для интервала от — 1 до +1, а третий меньше —1.

Остаются два особых случая ck—±zk, исключенные выше. При c\=k многочлен / (s), как всегда, стремится к -|- оо при Si стремящемся к —оо, кроме того, он будет отрицательным при S = — 1 и нулем при s=l; поэтому он всегда будет иметь простой корень, меньший — 1; если s = l есть двойной корень, то, как и в общем случае, утверждаем, что при—I <s< 1 многочлен всегда будет отрицательным. Если, далее, s = 1 не является двойным корнем, то мы увидим, рассуждая, как и выше, что соответственно действительному движению гироскопа многочлен обязательно имеет третий простой корень внутри интервала от — 1 до + 1.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed