Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Все исследование сводится к тому, чтобы определить знак, который имеет Тзв возникающем движении (возмущенном), начиная от момента t0, причем в установившемся прецессионном движении Ys = О, так как в этом случае Ys = cos^ = Const.
Третье из кинематических уравнений (35')
їз = Yitf-TЬР после дифференцирования по t дает
Ys = Ti Ч — Ї2P + Y19 — Ta Р>
поэтому, подставляя вместо первых производных выражения, даваемые теми же уравнениями (35') и уравнениями Эйлера из п. 27, и принимая во внимание, что
з I а . 3 л Tl+ Ї2 = Sin 6,
мы придем к уравнению
Ys = -j-r (PYi + ?Ya) + ^j- sin2 0 — O2 + ?2)cos 6- (76)
6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
139
В частном случае регулярной прецессии имеем P = vY і, ? = Па> г = vYa+ V-,
и, следовательно,
PYi + 9Y2 = v s‘na р2 = V2 sin2 0;
подставляя в уравнение (76) и принимая во внимание, что должно ¦быть ^3 = 0, мы приходим к соотношению
О = sin2 0 п -]- — V2 cos 0 j, (760
из которого, между прочим, снова можно получить известное условие (74').
Ho так как в момент t0 производится возмущение, благодаря которому при остающихся неизменными 0 и г угловая скорость прецессии V увеличивается на некоторую величину Av, то можно сказать, что в возмущенном движении начальное значение ^з> если обозначить через Z7(V) квадратный трехчлен относительно v в правой части равенства (7б0і определяется равенством
Ys = -Hv + ^),
или, если раскрыть правую часть и принять во внимание, что /-(V)=O1
cos 0j . (76"
Так как, по предположению, угловая скорость г значительно превосходит V и Av, то отсюда видим, что знак у Ys вначале одинаков со знаком Av. В этом первоначальном совпадении знаков как раз и заключается объяснение указанного выше явления. Действительно, если, имея в виду опять волчок (центр тяжести которого лежит выше закрепленной точки), предположим для определенности, что в рассматриваемой прецессии угловая скорость ji, по предположению, очень велика и положительна, то угловая скорость v вследствие прямого характера прецессии так же, как и cos 6, отрицательна; поэтому для увеличения скорости прецессии необходимо дать угловой скорости v отрицательное приращение Av. На основании уравнения (76") и начальное значение Ys будет отрицательным, откуда следует, что Ya = cosS в момент t0 начинает уменьшаться; это означает, что угол нутации 0 вначале возрастает, т. е. гироскопическая ось стремится приблизиться к восходящей вертикали. Если, наоборот, возмущение замедляет прецессию, т. е. если Av > 0, то Y3 начинает увеличиваться, а ось гироскопа стремится опуститься.
' = Av sin2 0 Г - j г-— (2v + Av)
140
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
§ 7. Вопросы устойчивости движения тяжелого гироскопа
41. Если бы мы захотели описать при помощи системы дифференциальных уравнений, как изменяются в зависимости от времени при движении тяжелого гироскопа все параметры, определяющие это движение, то нам необходимо было бы только сопоставить все, что было сказано в §§ 5 и 6 о постановке динамической задачи о тяжелом гироскопе или, в более общем случае, о тяжелом твердом теле с закрепленной точкой, с общими соображениями § 1. Для этого к уравнениям Эйлера тяжелого гироскопа (п. 27), которые здесь в силу известных формул (22), уже неоднократно приводившихся, можно написать в виде
Ар—(А
Aq + (А
г= 0,
нам придется присоединить чисто кинематические уравнения (п. 1)
• •
P Z= Ь COS CS -}- ф Sin CS sin 6,
q = — 0 sin ® -j- ^ cos ср sin 6,
г— 4COS 6-)-®.
В результате мы получим систему (приводимую к нормальному виду) шести дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными функциями времени р, q, г, 0, ср, ф.
Поэтому, если бы мы захотели применить к движеншр тяжелого гироскопа (или, в более общем случае, какого-нибудь твердого тела с закрепленной точкой, находящегося под действием какой угодно системы сил) критерии безусловной устойчивости § 4 гл. VI, то следовало бы во всех случаях для каждого из шести аргументов р, q, г, 0, <р, і учитывать отклонения, которые возникают в возмущенном движении, вначале сколь угодно близком к изучаемому невозмущенному движению.
Что же касается этого последнего, то оно вполне характеризуется изменением с течением времени одной части параметров, а именно, параметров р, q, г, s = cos 0, дающих в любой момент проекции угловой скорости (о и угол наклона оси к вертикали. Таким образом, можно сказать, что мы имеем здесь задачу не о безусловной устойчивости, а об устойчивости, приведенной к параметрам р, q, г, s = cos0 (гл. VI, п., 18).
В этом именно смысле мы и будем рассматривать сначала устойчивость перманентных вращений гироскопа вокруг гироскопической оси (расположенной вертикально), а затем устойчивость других перманентных вращений и регулярных прецессий.
— C)rq= — Pz0 cos ср sin 6,
— С) rp = Pz0 sin ср sin 0,
§ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСКОПА
141
42. Гироскопическая стабилизация. В т. I (гл. XIII, п. 23) мы видели, пользуясь статическим критерием устойчивости, что из двух возможных положений тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке О, положение, при котором полупрямая 00, проведенная из точки О к центру тяжести G, направлена вертикально вниз (в случае гироскопа X = O, s = l), является устойчивым, а положение, при котором ось OQ направлена вертикально вверх (в нашем случае X = O, S = — 1), будет неустойчивым.