Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
0 -0O = sI +eOcos \cr (t — *о)Ь (60)
которая дает искомое приближенное выражение для угла нутации, тем более точное, чем более значительным будет г. Наибольшее отклонение угла 0 от его среднего значения O0 определяется постоянной S0.
Чтобы дополнить решение задачи о движении гироскопа при указанных ранее условиях, мы должны найти аналогичные выражения
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
127
для двух других углов Эйлера, фи ®, определяемых, как мы видели в предыдущем пункте, двумя уравнениями
Ф = ’ ® = Г—(61)
Припоминая, что kjcX отличается от S0 членами порядка 1/Хи
что рX = г, выражению ф можно придать следующий вид:
г s — S0
-crT=W'
так как в переменном множителе числитель S = S0 = а уже первого-порядка, то, по крайней мере с точностью до членов высшего порядка малости, можно подставить в знаменателе S0 вместо s. После
этого, вводя угловое отклонение s из выражения (56) для s — S0 и принимая во внимание тождество I — s<j = sin2 60, мы получаем окончательно
: сг
^s-ETos;
наконец, разбивая з на два слагаемых B1, з2, определяемых из (57), (58), можно придать этому равенству вид
<62>
где для краткости через v обозначено число, имеющее размерность угловой скорости и во всяком случае очень малое по сравнению с г,, ввиду наличия сомножителя S1,
сг a I — 2 H1S0 — 3 Sj;
sin B0 1 сA2 sin2 0О 2сА2 sin2
-г.
Для интегрирования уравнения (62) удобно использовать дифференциальное уравнение (59), которому удовлетворяет є2, написав
V сг sin 60 ’
отсюда легко получается
ф = V/--------г- s„ -I- const,
т сг sin 0О 1
или, так как s2 = s0cos {cr(/—^0)),
^==v/ + lsVsin{cr(/~/o)i + const- (63>
Как мы видим, ф состоит из суммы двух членов, первый из которых, пропорциональный времени, соответствует равномерному вращению оси фигуры, медленному по сравнению с гироскопическим вращением (с угловой скоростью г), а второй, периодический
128
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
(с периодом 2-лг/сг), определяет очень малые колебания около этого прецессионного движения.
Остается, наконец, определить (р. Подставляя в выражение (61) для © вместо s его среднее значение S0, получим
© = г—^s0 = г — VS0-]------
Т 0 0 1 Cr Sin 0О 1 ’
откуда видно, что характер изменения ср совершенно аналогичен только что определенному! характеру изменения ф; точнее, имеем уравнение
9 = (Z--VS0)/----sin?/•(*—10) +const, (64)
которое в первом приближении приводится к виду <Р = (г — vs0) t + const.
Формулы (60), (63), (64) дают упомянутое выше приближенное аналитическое представление движения тяжелого гироскопа, обладающего большой угловой скоростью собственного вращения. Полученные здесь результаты оправдывают название псевдорегулярной прецессии, которое обычно дают такому движению.
Заслуживает внимания частный случай, когда в начальный момент р и q равны нулю. Это можно осуществить, удерживая сначала ось гироскопа в заданном направлении неподвижной и сообщив ему каким-либо образом быстрое вращение около этой оси; после этого надо предоставить гироскоп самому себе без толчка.
В этом случае выражение постоянной E живых сил приводится в силу интеграла энергии (45) к виду
E = ^Cr2-Pz0S0,
поэтому на основании соотношений (46) имеем h = c\2— s0; следовательно, постоянная A1, которая появляется в формуле (55), есть не что иное, как—S0, и выражение для v принимает вид
JWr'
35. Равномерное вращение тяжелого гироскопа. В п. 32 мы исследовали регулярную прецессию и, как предельный случай, перманентное вращение тяжелого гироскопа. Здесь, изменяя несколько постановку задачи, мы непосредственно определим и изучим в связи с начальными условиями движения прежде всего все возможные равномерные вращения тяжелого гироскопа и затем регулярные прецессии, имеющие осью прецессии вертикаль и осью фигуры ось гироскопа. При этом следует заметить, что прямое исследование равномерных вращений тяжелого гироскопа не сводится к рассмотрению простого
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
129
частного случая, изложенного нами уже в п. 25 для аналогичной задачи относительно тяжелого тела с любой структурой, так как справедливость приведенных там рассуждений основывалась на предположении полной структурной асимметрии тела; мы увидим сейчас, что при условиях симметрии (41), принятых здесь, конус Штауде, выражающийся уравнением (39'), будет неопределенным.
В виде общих предпосылок к двум задачам, которые мы имеем здесь в виду, вспомним (пп. 22, 27), что движение тяжелого гироскопа определяется динамическим уравнением (уравнением моментов количеств движения)
^ = * +(34,)
и кинематическим уравнением
? = х + (,)Х* = 0; (35)
при этом в соответствии с распределением масс в гироскопе предполагается
A = B, X0= у0 = 0, (41)
и, кроме того, положительное направление оси z выбирается так, что z0 >Q.
Примем также во внимание, что существует интеграл площадей
г = const;
поэтому ДЛЯ угловой скорости (I) будем иметь векторное выражение (гл. IV, п. 17)
о>=і-АГ+^=^гй (65)
