Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 59

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 230 >> Следующая


Далее, как мы здесь увидим, устойчивость или неустойчивость а в конце концов зависит от положения, которое занимает этот корень s* многочлена в интервале (— I, -j-1); как мы только что видели, ОН BO ВСЯКОМ случае должен быть принят близким KS* = =1 — C2X2.

Предположим сначала, что s* находится вне интервала (— 1, —{- 1), т. е. что 1—сХ2<1, или же

\М>~' (79)

В этом случае, предполагая, как обычно, что X1, A1, kx достаточно малы по абсолютной величине, найдем, что число s*, близкое к s*, будет также лежать вне интервала (—1, +1), а два других нуля будут необходимо очень близки к —1. Таким же, следовательно, будет и наибольший из них, который мы обозначим через S2. Так как при s > S2 имеем / (s) < 0, то мы можем быть уверены, что ва всяком действительном решении о (будет ли s действительно изменяться вместе с t или оставаться постоянным) число s не превзойдет уже S2 и останется, следовательно, сколь угодно близким к —1. Поэтому заключаем, что всякое перманентное вращение о, угловаа скорость которого удовлетворяет неравенству (79), будет устойчивым.

То же самое можно сказать и о предельном случае

когда уравнение / (s) = 0 допускает трехкратный корень s = — 1 [случай а), п. 30], так как здесь наибольший из трех корней,
144

ГЛ-. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

соответствующий любому о, вначале близкому к а, по необходимости

все еще очень близок к ------1.

Если, наоборот, корень s* лежит внутри интервала (—1, +1)., т* е. если

то в тот же интервал попадет и близкий к нему корень s*. С другой стороны, если, в частности, мы возьмем решение <3, вначале близкое к о, для которого постоянная сХ, будучи весьма близкой к — к, все же не совпадает с — к, то можно быть уверенным (п. 29), что один из трех корней многочлена / (s) будет меньше — 1, а два других будут внутренними для рассматриваемого интервала. Из них один будет только что рассмотренный корень S*, а другой, который мы можем обозначить через S1, так же как и внешний корень, будет необходимо близким к —1. Отсюда следует, что в этой категории решений, вначале сколь угодно близких к а, число s будет сколь угодно долго колебаться между S1 и s* и, следовательно, сместится от — 1 на конечный интервал; а это показывает на неустойчивость решения о.

Резюмируя предыдущее исследование, мы можем сказать, что €реди разномерных вращений тяжелого гироскопа вокруг гироскопической оси, расположенной вертикально, с центром тяжести выше закрепленной точки, быстрые вращения (с2 A2 2) будут устойчивыми.

Критическая скорость, ниже которой теряется устойчивость, определяется (если р принять за единицу меры) из равенства (80); следовательно, ее значение в любых единицах, если примем во внимание п. 28, определится из равенства

43. Неустойчивость перманентных вращений около осей, не совпадающих с осью гироскопа, и регулярных прецессий тяжелого гироскопа. Мы уже отметили (п. 37), что со4 регулярных прецессий, которые возможны для тяжелого гироскопа, содержат в виде частных случаев (при [А — C]cosb>0 и [J- = O) перманентные вращения {вокруг вертикали), которые получаются, если мы расположим вертикально в надлежащую сторону каждую из со9 прямых тела, проходящих через точку О и не совпадающих с гироскопической осью (и не экваториальных).

Здесь мы покажем, что как те, так и другие вращения неустойчивы. При доказательстве мы обратимся к прецессии; однако, как увидим, наши рассуждения сохранят свою силу также и в частном случае только что упомянутых равномерных вращений.
§7. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО • ГИРОСКОПА

145

Поэтому в качестве решения о для невозмущенного движения примем любую регулярную прецессию. Для о величина s = cos 9 в течение всего движения сохраняет свое начальное значение S0 = cos0o или, как еще можно сказать, представляет собой статическое решение разрешающего уравнения (48) гироскопической задачи.

Поэтому (п. 30) для многочлена /(s) в правой части этого уравнения постоянная S0 является двойным корнем, заключенным между —1 и -}-1; этот корень необходимо лежит внутри этого

интервала, так как если бы он совпадал с одним из концов, то

движение а, вопреки предположению, приводилось бы к перманентному вращению вокруг гироскопической оси (направленной вертикально вверх или вниз). Отсюда следует, что для всякого другого решения о, действительного и вначале близкого к о, многочлен /(s) вначале в силу действительности положительный или равный нулю и, как мы знаем (п. 30), отрицательный (возможно, и равный нулю, если c\ — ±k) при s = d=l, допускает два корня, не обязательно различных, но действительных, близких к S0 в силу непрерывности, если начальное отклонение о от а достаточно мало. Поэтому величина s для решения а колеблется сколь угодно долго между этими

двумя корнями и, следовательно, всегда остается близкой к S0. Другими словами, по отношению к одному только параметру s всякая из с»4 регулярных прецессий тяжелого гироскопа будет устойчивой.

Ho в отличие от того, что мы имели (предыдущий пункт) для быстрых равномерных вращений вокруг гироскопической оси, направленной вертикально вверх (и для всех равномерных вращений вокруг гироскопической оси, направленной вертикально вниз), регулярные прецессии по отношению к параметрам р и q все неустойчивы.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed