Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 50

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 230 >> Следующая


эта формула выражает, что м есть сумма двух векторов: первый из них остается неизменным в пространстве и направлен вдоль вертикали, а второй остается неизменным в теле и направлен вдоль гироскопической оси. Это и доказывает, что речь идет о регулярной прецессии, причем ось гироскопа описывает конус вращения около вертикали, представляющей собой ось прецессии.

Для того чтобы движение гироскопа имело этот прецессионный характер (или характер равномерного вращения), т. е. для того, чтобы многочлен /(S) в правой части уравнения резольвенты (48) имел двойной корень, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль дискриминант многочлена /(s), т. е. чтобы существовало некоторое соотношение между постоянными с, h, k, к, или, иначе, между величинами, характеризующими структуру тела и положение

Y2P — Ti? —

е =

,T-^T (Tii+Ta/);

VI—Tl

(!)
122

ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

закрепленной точки, и начальными данными, которые входят в первые интегралы уравнений движения. Мы не будем формулировать здесь это условие, так как встретимся с ним немного позже, изучая непосредственно регулярную прецессию и равномерное вращение тяжелого гироскопа.

Здесь же отметим, что для того, чтобы полностью исчерпать исследование кратных корней, необходимо рассмотреть также исключенный ранее случай CA = — k.

Из замечаний в конце п. 30 естественно следует, что в этом случае для вершины прежде всего возможны такие движения к асимптотической точке в северном полюсе, на которые мы уже имели случай указывать в предыдущем пункте и которые представляются соответственно случаю г) (двойной нуль S1 =—1, сопровождаемый простым нулем S2 внутри интервала от —1 до -J-1) всякий раз, когда начальное значение S0 будет больше —1.

Наоборот, в предположении S0 = — 1, как и в трех других случаях а), б), в) п. 30, обязательно осуществляются установившиеся движения, в которых s при любом t сохраняет свое начальное значение, соответствующее кратному корню (прецессия или равномерное вращение около оси, направленной вертикально вверх).

В случае а) тройного корня s = — 1 мы будем иметь перманентное вращение вокруг гироскопической оси, направленной вертикально вверх; как легко проверить, угловая скорость определится равенством

33. Полное определение движения. Чтобы дополнить предыдущее общее исследование, нам остается показать, что не только функция

S = -^3, получающаяся в результате интегрирования уравнения (48), но также и другие элементы движения можно вычислить посредством квадратур.

Так как г постоянно (п. 27), остается рассмотреть только р, q, Y1, Ys-Заметим теперь, что равенства (44'), (47), если принять во внимание также и интеграл (45'), дают возможность представить биномы jPYi + </"b>—в функции от s, т. е. теперь уже в функции от времени; из двух полученных таким образом уравнений, которые для краткости напишем в виде

РЧі + т = ®ь — РТ2 + 9їі = в2, (53)

где 0j, 02 обозначают две известные функции от t, вводя для удобства вывода мнимые числа, получим соотношение

ІР + Щ) (Ti — *Т2) = ©і + і©о, которое на основании тождества

(Ti — г'Та) (Ti + iTs) = Ti + Ta = 1 — Тз
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП

123

можно написать так:

P + Щ = (Ti + 'Ta) • (54)

1 Тз

С другой стороны, из двух первых, еще неиспользованных уравнений (35') следует

Ti + iT2 = — * (Ti + *Та) + гТз (Р + *?)>

поэтому, подставляя вместо р -j- iq его выражение (54) и деля на -f" г'т2, получим

d In (Ti 4- г'т2) __ Q1 + г'62

------т. —' 1Г "Г г,-з 5“-

dt ¦ 1—75

Так как правая часть есть известная функция от t, то достаточно одной квадратуры, чтобы получить выражение для Ti 4~ ^T2- после чего, заменяя і на —г, мы найдем сопряженную функцию Ti — Па и, следовательно, определим Ti и T2 в отдельности. После этого р и q определятся из системы линейных уравнений (53) или из уравнения (54).

Впрочем, и не определяя р, q, T1, T2, можно прямо прийти к определению в квадратурах двух других углов Эйлера ® и ф, если известна функция s = cos 0.

Действительно, из первых двух уравнений (37) п. 22, умножая их на Ti, T2, складывая почленно и принимая во внимание, что (т. I, гл. III, п. 32)

T1 = sin 0 sin о, Ta = s‘n ® cos tP,

получим уравнение

PTi+^T2 = M1- Тз).-которое при сравнении с уравнением (44') дает

р (k — сШ Kn - Cr;,

ф =-----------7а- = —---------

I-Tj А( 1-т0

после этого из третьего из уравнений (37) п. 22 получим

? = >¦ —fYs*

Из двух последних уравнений находим посредством квадратур выражения для о и 6 в функциях от времени.

Следует заметить, что в частном случае, рассмотренном в предыдущем пункте, когда резольвента имеет один двойной корень и, следовательно, когда Тз = cos^ 80 время движения остается постоянным, предыдущие выражения для ф и со дают новое доказательство прецессионного характера движения, так как эти угловые скорости постоянны.
124

ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

34. Приближенные уравнения движения гироскопа при больших угловых скоростях собственного вращения. Оценивая приближенно различные члены в общих уравнениях, установленных в предыдущих пунктах, мы можем указать преобладающие члены в интегральных выражениях 6, ®, <!>, справедливых для любого движения тяжелого гироскопа (движение с нутацией), в том случае, когда гироскоп совершает быстрое вращение вокруг собственной оси.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed