Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
ние равенство (72) и тождества dx/dt= 0, k = 0, найдем {(Лц — [А — С] г) V -j- Pz0] kX* = 0;
134
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
а так как во всякой регулярной прецессии, не сводящейся к простому равномерному вращению вокруг гироскопической оси, эта ось (с единичным вектором к) не может находиться в вертикальном положении, то предыдущее векторное уравнение равносильно такому скалярному соотношению:
(Ap — [A — C\r) V + Pz0 = О. (74)
Здесь следует явно выделить, кроме физических параметров гироскопа А, С, Р, г0, также и характеристические параметры прецессии, которые определяются, кроме угловых скоростей [А и V, еще и постоянным углом 0 нутации оси гироскопа. Для этой цели достаточно заметить, что на основании уравнения (72) проекция г вектора а> на направление k определяется равенством
Г = Jl-J- V COS 0,
так что, подставляя это значение г в соотношение (74), мы придадим ему окончательный искомый вид
(А — С) V2 cos 0 — Cav — Pz0 = 0. (74')
Это и есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы параметры ji, v, 0 определяли для данного тяжелого гироскопа регулярную прецессию. Таким образом, мы видим, что каждый из трех параметров ji, v, 0 определяется значениями двух других; при этом, однако, важно ответить на вопрос, в каких пределах можно выбирать произвольно два из этих параметров.
Так как уравнение (74') квадратное относительно v и линейное относительно Jl и COS 0, то прежде всего ясно, что вполне произвольно можно задавать угловую скорость прецессии v и угол нутации 0, после чего уравнение (74') дает вполне определенное (даже и по знаку) значение для угловой скорости [і собственного вращения.
Наоборот, произвольный выбор двух угловых скоростей Jl И V подчинен тому условию, чтобы вполне определенное и единственное значение для cos 0, которое получается из уравнения (74'), было заключено между —1 и +1 (за исключением концов); другими словами, требуется, чтобы было
у2 (А — С) I
Cfiv -J- Pz0 I
Наконец, если желательно задать ji и 0, то необходимо это сделать так, чтобы оба корня уравнения (74') второй степени относительно v были действительными; для этого необходимо и достаточно, чтобы соответствующий дискриминант не был отрицательным, т. е. чтобы было
C2Ji2 +4 (A-C) Pz0 cos 0 > 0.
(75)
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
1,35
Это условие будет удовлетворено при любом выборе собственной угловой скорости, даже когда она будет и очень мала, если будет выполнено условие
(А — С) cos 6 > О,
т. е. когда (п. 35) гироскопическая ось будет расположена так, чтобы образовывался острый или тупой угол с нисходящей вертикалью, в зависимости от того, будет ли эллипсоид вращения инерции относительно О растянутым или сплюснутым. В этом случае, если делается предельное предположение, допустимое само по себе, чтобы собственная угловая скорость [і была просто равна нулю, мы придем к равномерному вращению около вертикальной оси с угловой скоростью V, вполне определенной по абсолютной величине; существование такого вращения мы установили прямым путем в упомянутом п. 35. Если же, наоборот, будем иметь
(А — С) cos 0< О,
то уравнение (75) накладывает на произвольный выбор собственной угловой скорости гироскопа ^ ограничение
ы >-?-1/^0104 — QcosH
Во всяком случае, как бы ни выбирался угол 0, достаточно, чтобы угловая скорость jj. имела надлежащую величину или была очень велика (как это и бывает в конкретных задачах, имеющих большой интерес), чтобы соответствующее уравнение второй степени (74') допускало два действительных различных корня V1 и v2; легко видеть, что в предположении очень большого значения ДЛЯ (1 один из этих двух корней будет тоже очень велик (т. е. порядка р.), а другой — очень мал (т. е. порядка jj.-1). Действительно, положив для краткости
4 (Л — С) Pz0 cos 0 = C2S,
где 8 не зависит от [х, получим для корней уравнения (74') два Значения
v== 2 (A-Cj^sT{1 (1 + -Й }>
Или же, разделив корни и предположив ничтожно малыми степени (і-1 с показателем, ббльшим 1, получим
С|* CB _ j_ Pz0
vI= (А — С) cos 0 ’ vS- - 4 (Л — С) cos 9 ^ — С ^
Следует заметить, что это приближенное значение V2 меньшего корня можно было бы найти также и прямо из уравнения (74'), пренебрегая в нем членом с V2.
Кинематическое истолкование очевидно: какова бы ни была полупрямая, проходящая через точку О, неизменно связанная с телом
136
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
(и отличная от гироскопической оси), которая (в данный момент) совпадает с вертикалью (и направлена вниз или вверх), для гироскопа возможны при всяком достаточно большом значении угловой скорости [А собственного вращения две различные регулярные прецессии вокруг этой полупрямой, для которых прецессионное вращение является быстрым в первом случае (v того же порядка, что [і.) и медленным во втором (v порядка р."1).
Для этой последней прецессии произведение [j.v2 cos 9 будет приблизительно равно
— COS 9,
так что, вспоминая признак (уже упоминавшийся в п. 14) из т. I (гл. IV, п. 17), по которому прецессии делятся на прямые и обратные, мы увидим, что прецессия с медленным прецессионным вращением будет прямой или обратной, в зависимости от того, будет ли cos 0 меньше или больше нуля, т. е. смотря по тому, будет ли центр тяжести G выше или ниже горизонтальной плоскости, проходящей через О.
