Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В п. 4 мы уже указали на точный смысл, который следует вкладывать в понятие быстрого вращения. Здесь необходимо добавить, что проекция (постоянная) г угловой скорости гироскопа в течение всего времени движения будет велика не только по сравнению с двумя другими проекциями р и q, но также и по сравнению со структурной постоянной р, определенной из второго из равенств (46), т. е. из равенства р2 = 2Pz0/А.
При этом предположении, последнее из равенств (46), т. е.г = Ар, показывает, что и постоянную к нужно считать очень большой; затем
из интеграла (45) живых сил мы видим, что в выражении постоян-
ной E слагаемое с г2 преобладает над остальными, так что на основании первого и третьего из равенств (46) можно положить
Zi = Ck2-^h1, (55)>
где A1 есть отвлеченное число, не зависящее от к и, по предположению, очень малое по сравнению с сА2.
Аналогично первый интеграл (44) моментов количеств движения, на основании равенств (46) можно написать в виде
k == cks —• • • >
где ненаписанные члены не зависят от А; отсюда получаем
__ к ............._
s Cl Cl ’
вторая дробь, числитель которой изменяется с временем, остается< НИЧТОЖНОЙ ПО сравнению С ПОСТОЯННОЙ величиной Sq = k/ck в силу того, что ненаписанные члены остаются конечными и не зависят от к *). Таким образом, мы видим, что когда гироскоп находится в быстром вращении вокруг своей оси, то ось гироскопа сохраняет приблизительно постоянный наклон к вертикали (cos S0 = S0).
На основании предыдущего в качестве приближенного значения k (по крайней мере до членов, не зависящих от X) мы примем
k = cks0)
*) Предыдущее равенство можно написать в виде cos 0 = cos 0О —
v Ґ< А '
откуда и видно, что второе слагаемое тем меньше, чем больше I, а первое от I не зависит. (Прим. ред.)
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
125
положим еще, что S0фdzl, в силу чего исключается частный случай k = ±ch.
Для изучения малых отклонений угла нутации 0 от постоянного значения 0О, т. е. для изучения нутации оси гироскопа, положим
s = sO+0.
где о рассматривается как количество перврго порядка, т. е. как количество, квадратом которого можно пренебречь.
Здесь речь идет об определении с заданным приближением закона изменения с временем этой функции о, для чего, конечно, придется обратиться к дифференциальному уравнению (48). Если S0, которое мы предположили не равным it 1, есть двойной корень многочлена f(s), то движение гироскопа сведется, как мы уже знаем (п. 32), к регулярной прецессии, и мы будем строго иметь s = S0, т. е. о = О. Если исключить этот случай, то s не будет тождественно обращаться в нуль для решения уравнения (48), о котором здесь идет речь; продифференцировав это уравнение по t и разделив результат на s, мы получим уравнение
Tr=Z7(S);
достаточно будет подставить в него S0 + а вместо s и принять во внимание, что о должно рассматриваться как величина первого порядка, чтобы получить для определения о линейное уравнение
a-I рГЫ°~ у PT (So) = »-
Здесь необходимо уточнить значения, которые надо приписать /' (s0) и f" (S0), учитывая наш порядок приближения. Для этой цели заметим, что многочлен f (s), если вместо h и k подставить их значения CX2-^-A1 и cXs0, сводится к следующему:
/(S) = (1 — S2) (S + H1) - C2X2 (S - S0)3.
Дифференцируя обе части этого равенства по s и полагая после дифференцирования s = S0, получим
/ (s0) = I — rZh1S0 — 3so,
f" (s0) = — 2с2Х2 — 2/Zj — б50.
Если обозначим через 2а величину f (s0), не зависящую от X, и заметим, что в выражении /" (s0) по сравнению с первым членом —2с2Х2 два другие ничтожны, и, кроме того, примем во внимание, что рХ = г, то уравнение относительно о можно будет написать в виде
о" -J- с2г2о — ар2 = 0;
126
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
достаточно положить
яр2 а
0I — 3 1^2 — 0 J
чтобы придать ему вид
о” CV2O1 = о.
Это есть уравнение гармонического колебательного движения.
Ho здесь, чтобы получить как можно более точный и определенный результат, лучше перейти от закона изменения O1, т. е., по существу, от закона изменения о = s — S0 к закону изменения угла нутации, который, как известно, колеблется вблизи своего среднего значения O0 (s0 == cos Q0). Введя угловое отклонение 8 = 9 — 0О, которое надо рассматривать бесконечно малым, как и а, и пренебрегая членами порядка выше первого относительно s, будем иметь
S = COS (0О -j- s) = S0-S sin 0О
и, следовательно,
S-S0 = CS = CJ1 + ^-=- ESinO0; (56)
поэтому (допуская возможность деления на sin0o на основании предположения S0 = cos 0o^fc 1) можно представить угловое отклонение 8 B виде
s = S1-J- е2,
где первое слагаемое
Sl = ~ (ДО Sin S0 ^
является числом, зависящим от начальных постоянных, и во всяком случае очень мало вследствие наличия в знаменателе C2X2, а другое слагаемое
= —SiFV <58>
отличаясь от O1 на постоянный множитель, определяется тем же линейным дифференциальным уравнением, что и для O1, т. е.
з2 -J- C2Z-2S2 = 0. (59)
Интегрируя это уравнение и обозначая через э0, tQ две постоянные, мы получим формулу
