Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя к явлениям движения, мы видим прежде всего, что устойчивость перманентных вращений (с произвольной угловой скоростью) вокруг гироскопической оси, направленной вниз (5=1, X — произвольно) настолько очевидна, что мы не будем ее доказывать; рассмотрим поэтому, основываясь на динамическом критерии § 4 гл. VI, устойчивость по отношению к параметрам р, q, г, s перманентных вращений тяжелого гироскопа (также с произвольной угловой скоростью) около его гироскопической оси, направленной вертикально вверх (s = — I, X — произвольно).
Указанные только что перманентные вращения обладают одним замечательным свойством: в то время как для угловых скоростей, недостаточно больших (т. е. для значений X, меньших некоторого критического значения X*), эти движения неустойчивы, они становятся устойчивыми по отношению к р, q, г, s-, как только угловая скорость достигнет критического значения X*, и в особенности, когда она превзойдет это значение (т. е. при Х^>Х*). В этом и заключается явление, известное под названием гироскопической стабилизации. Заметим теперь же, что особенно отчетливо оно осуществляется в движении волчка. Волчок, опирающийся на пол концом оси, направленной вертикально вверх, неустойчив в состоянии покоя и остается неустойчивым, если ему сообщить небольшую угловую скорость около оси симметрии. Достаточно, однако, сообщить волчку значительную угловую скорость, для того чтобы он, несмотря на неизбежные возмущения, происходящие, например, от колебаний воздуха и пола, держался долгое время прямо; при этом всякому, кто смотрит на него издали, он будет казаться неподвижным (спящий волчок).
Чтобы отдать себе отчет о причинах этой гироскопической стабилизации, примем в качестве образцового решения (меростатического) а какое-нибудь из вращений вокруг гироскопической оси, направленной вертикально вверх, т. е. такое решение о, для
которого
5==-1, P = О, <7 = 0,
а X и, следовательно, г имеют любое постоянное значение. Ho, как мы уже знаем, и во всяком другом решении а проекция г сохраняет неизменным свое начальное значение. Поэтому при исследовании
устойчивости мы можем не обращать внимание на величину г и ограничиться рассмотрением отклонений величин р, q, s.
142
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Рассмотрим теперь любое решение о, вначале близкое к а, т. е. такое, что (при близких друг к другу постоянных X и X) начальное значение S0 величины 5 близко к —1, а начальные значения р0, q& проекций р и q очень малы. Из интеграла живых сил (п. 28)
р2 + q2 = р2 (5 + h _ cJL*), (45')
справедливого для решения с, как и для всякого другого решения^
будет тогда следовать, что если при неограниченном возрастании t величина s в решении о остается близкой к своему начальному значению S0, то то же будет иметь место и для величины /?2-f-Л которая вначале имеет значение pl~\-ql, близкое к нулю, так что проекции р и q останутся сколь угодно малыми.
Если, наоборот, величина 5 для решения о с возрастанием t
в конце концов получит конечное отклонение от своего начального» значения, TO ТО же необходимо Произойдет И С величиной P2 —{— что исключает также и устойчивость по отношению к р, q.
Итак, мы видим, что для рассматриваемых здесь перманентных
вращений приведенная устойчивость по отношению к величинам s, р, q (и г) не отличается от устойчивости, приведенной к одной величине s.
Следовательно, мы можем ограничиться изучением того, как изменяется с временем по сравнению с решением а (S =— I, X — произвольное) уравнения (48) величина 5 какого-нибудь другого решения а, которое вначале было близко к о.
Для решения с постоянные интегрирования h Hk, как мы это видели в п. 36, определяются выражениями через соответствующие X из равенств
A = cl2 + I, It = — ск, (71)
так что функция в правой части уравнения (48) приводится к следующей:
f(s\K, h, A)=/= (l+s)*(l— c42-s), (77)
а для любого решения о, которое, по предположению, вначале близко к а, постоянные X, h, k должны быть близки к X, h, k; поэтому можно положить
X = X + Xj, H = H-^-H1, h = It —j— U1,
где каждое из X1, Zz1, ^1 стремится к нулю, когда начальные условия, определяющие а, стремятся к совпадению с начальными условиями, определяющими а.
Далее, как мы уже знаем, характер изменения функции 5 (t), соответствующей этому решению о, зависит от величины (и кратности)
§ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСКОПА
143
корней, которые многочлен
/(s I X-[-X1, /г-J-A1, (78)
ВОЗМОЖНО, имеет В интервале ОТ S =---- 1 ДО S = 1.
Так как при X1 = H1 = kx = 0, т. е. для а, многочлен (78) приводится к многочлену (77) и, следовательно, допускает двойной корень S = — 1 и еще простой корень
s* = I —C2X3,
то очевидно, что при X1, Aj, A1, не равных одновременно нулю, недостаточно малых, многочлен (78) будет прежде всего иметь два корня Sj, S2, вообще говоря, различных, HO близких к — 1 (этим,, конечно, мы не хотим сказать, что они обязательно лежат в интервале от — 1 до -j-1), и еще третий корень S*, близкий К Sg.
