Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Наоборот, для прецессии с быстрым прецессионным вращением произведение Vji1 cos 0 принимает приблизительно то же самое значение
A-C•
как и в регулярной прецессии в движении по Пуансо (п. 14), и имеет поэтому знак, зависящий исключительно от структурных постоянных. Отсюда следует, что для заданного гироскопа прецессии с быстрым прецессионным вращением будут все одного и того же вида (какова бы ни была прямая в теле, приводимая в совпадение с вертикалью); точнее, все прецессии будут прямыми, если эллипсоид инерции относительно точки О будет удлиненным (Л>С), и все они будут обратными, если этот эллипсоид будет сплюснутым (А < С).
Наконец, можно отметить, что при исключавшемся до сих пор предположении, что Z0 = 0, т. е. что гироскоп закреплен в его центре тяжести, предыдущие рассуждения приведут опять к регулярной прецессии по инерции (п. 14). Сравнивая уравнение (74') с уравнением (24) п. 14, мы увидим, что эти регулярные прецессии по инерции непрерывно переходят, в предположении Z0 zfz 0, в прецессии с быстрым (v —> со) прецессионным вращением.
38. Гироскопические весы. Существование регулярных прецессий с медленным прецессионным вращением как прямым, так и обратным может быть проверено экспериментально на так называемых гироскопических весах. Они состоят из твердого стержня, укрепленного при помощи карданова подвеса в одной из своих точек О (фиг. 21), и двух
§ б- ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
137
тяжелых тел вращения С и С', укрепленных на стержне, как на оси, с противоположных сторон его точки О, один из которых, например Cr неизменно связан со стержнем, тогда как другой можно закреплять на стержне на каком угодно расстоянии от О. Поэтому, перемещая надлежащим образом тело С' вдоль стержня, можно по желанию сделать так, что центр тяжести всей системы, всегда лежащий на оси симметрии (общей для стержня и для двух тел С и С'), будет лежать по ту или другую сторону от О.
Расположив стержень по наклонной прямой, например так, чтобы диск С был вверху, приведем диски в быстрое вращение около их осей и предоставим систему самой себе *). Тогда мы увидим, что вся система медленно поворачивается вокруг вертикали в ту же сторону, в которую происходит и собственное вращение, или в противоположную, смотря по тому, будет ли центр тяжести выше или ниже закрепленной точки.
39. Регулярные прецессии, определенные в п. 37
для тяжелого гироскопа, зависят от двух произвольных параметров, например ^ и v. Ho в совокупности оо8 Фиг. 21.
возможных движений на самом деле прецессий насчитывается со4, так как произвольными остаются, кроме р и v, начальная ориентация тела относительно его гироскопической оси (угол ср) и начальная долгота этой оси (угол <})¦ Это подтверждается и формальными соображениями; вспоминая, что любая регулярная прецессия характеризуется тем, что остаются постоянными величины 0, ср = ;а, ф = V, и принимая во внимание, что 0 связано с [х и v уравнением (74% му видим, что из шести начальных значений, 0, о, 0, ср, ф»
остаются произвольными четыре: <?, 'Ь, ®, 'Ь.
40. Мгновенное возмущение прецессии. Непосредственный эффект изменения угловой скорости прецессии. Два характеристических соотношения, 0=0 и (74'), которым должны удовлетворять в начальный момент параметры, для того чтобы движение тяжелого гироскопа, определяемое ими, было регулярной прецессией, будут удовлетворяться и в любой момент в течение всего времени движения. Ho если в заданный момент t0 в силу какой-нибудь внешней причины движение внезапно будет возмущено или, точнее, эти два соотношения в следующий момент не будут удовлетворяться, то движение гироскопа перестанет быть регулярной прецессией и перейдет в более общий
1J Стержню надо еще сообщить угловую скорость v прецессии в начальный момент, чтобы было выполнено условие регулярной прецессии, которое остается в силе и для начального момента.
Если же систему предоставить самой себе без толчка (ч = 0), то мы буде** наблюдать псевдорегулярную прецессию. (Прим. ред.)
138
ГЛ. VtII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
вид движения с нутацией, которое было рассмотрено в п. 31; при этом гироскопическая ось, вращаясь постоянно вокруг вертикали, начнет периодически колебаться между двумя крайними углами наклона.
Чтобы иметь особенно простой случай, рассмотрим, например, волчок с центром тяжести выше закрепленной точки, совершающий прямую регулярную прецессию с быстрым собственным и с медленным прецессионным вращением (п. 37). Представим себе, что в некоторый момент t0 внезапно заставляют измениться угловую скорость прецессии ^ = V, оставляя неизменными 6, «, 'Ь, 9 = 0, а также и гироскопическую скорость г = о 4-іCOS 6, что влечет за собой соответствующее одновременное изменение угловой Скорости ср== JJ.. Интуитивно понятно, как можно получить этот эффект, сообщив, например, рукою толчок оси волчка; динамическое оправдание такой постановки задачи мы отложим до теории импульсивного движения (гл. XII, § 2).
Допустив здесь возможность с физической точки зрения такого внезапного изменения величины iji = v и вследствие этого одновременного изменения величины ф = [х, мы постараемся определить непосредственный эффект этого изменения и объяснить следующее явление, которое может быть проверено экспериментально: если импульс действует в сторону прецессионного движения, то гироскопическая ось тотчас же обнаруживает стремление выпрямиться, т. е. приблизиться к вертикали (подняться вверх), если же он действует в противоположную сторону, то ось тотчас же стремится опуститься.
