Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если далее, как это требуется общим критерием устойчивости, мы сравним с а вместо другой регулярной прецессии произвольное решение а, вначале близкое к а, то в дополнение к регулярной проецессе встретится только нутация гироскопической оси, которая вследствии устойчивости, относительно s = cos 0 (п. 43), останется бесконечни йалой, если начальное различие между о и о задается достаточно малым. Поэтому это решение также не отличается заметно от
tn*
148
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
регулярной прецессии а, так что прецессия дает здесь типичный’ пример практической устойчивости, тогда как теоретически мы имеем здесь случай неустойчивости.
Это замечание дает теоретическое объяснение одному факту, который легко установить экспериментальным путем. Если, приведя волчок в очень быстрое вращательное движение вокруг оси симметрии, мы закрепим одну точку этой оси (например, поместим конец оси волчка на подходящую опору в виде чашечки) и затем предоставим волчок самому себе в каком-нибудь начальном положении, в котором ось симметрии образует с вертикалью какой-нибудь угол 9, то движение, которое получит волчок, будет иметь все признаки регулярной прецессии (с медленным прецессионным вращением), хотя начальные условия движения не удовлетворяют строго характеристическому условию (74') регулярной прецессии. Действительно, гироскопическая скорость [А (по предположению, очень большая) и угол нутации 0 заданы произвольно; а так как в начале движения волчок предоставлен самому себе, то начальные постоянные р0, q0 обе равны нулю или, точнее (если мы хотим учесть бесчисленные физические обстоятельства, которые, ускользая от нашего прямого контроля, неизбежно влияют на опыт), обе очень малы, но не зависят от произвольного выбора ;а и 0. Такой же будет вначале и угловая скорость v, и нет решительно никакого основания, чтобы эта угловая скорость, очень малая, если не прямо равная нулю, и зависящая от случайных причин, была такой, чтобы при произвольных значениях [а и 0 удовлетворять условию (74').
Несмотря на это, мы, имеем здесь согласие между теоретическим предвидением и опытом, поскольку случайное значение v, сколь бы мало оно ни было, близко к угловой скорости V прецессии (с медленным прецессионным вращением); поэтому на основании изложенных выше соображений действительное движение волчка не может заметно отличаться от этой регулярной прецессии. Мы имеем здесь, таким образом, псевдорегулярную прецессию (см. п. 34).
§ 8. Стереонодальные и натуральные уравнения и приложения
46. Система ориентировки с подвижными осями в теле. В предыдущих параграфах мы показали с различных точек зрения, насколько выигрывает в смысле дедуктивной простоты и пригодности к выражению конкретных вопросов уравнение моментов количеств движения (относительно центра приведения О, закрепленного или совпадающего С центром тяжести), когда вместо галилеевых осей Qlrf, мы обращаемся к осям Oxyz, неизменно связанным с телом (уравнения Эйлера).
Ho в некоторых задачах динамики твердого тела в согласии с тем, что говорилось в общем случае в п. 3 предыдущей главы, оказывается удобным относить основные уравнения к осям, движущимся не только в пространстве, но также и в теле. Закон движения этих осей, смотря по обстоятельствам, выбирается наиболее подхо-
8. СТЕРЕОНОДАЛЬНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
149
дящим образом к природе задачи, которую требуется разобрать. Мы рассмотрим здесь два частных выбора такой подвижной системы^ каждый из которых приводит к замечательной форме динамических уравнений для всякого твердого тела с гироскопической структурой.
К этим формам мы придем, проектируя на подвижные оси второе основное уравнение. Если за центр приведения моментов выбирается закрепленная точка (или, при движении свободного твердого тела, центр тяжести), то уравнение это примет (п. 3 предыдущей главы) вид
где символы имеют обычное значение и, в частности, ti>' обозначает угловую скорость (абсолютную) уже не твердого тела, а подвижной системы всей (в пространстве и в теле). За начало О этой системы принимается, как обычно, сам центр приведения моментов (закрепленный или совпадающий с центром тяжести).
Далее, ясно, что относительно осей, подвижных внутри тела, ни моменты, ни произведения инерции, вообще говоря, уже не будут более постоянными, так что при таком выборе осей теряются те выгоды формальной простоты выражений для проекций момента К, которые мы имели в случае осей, неизменно связанных с телом и представляющих собой главные оси инерции твердого тела. Однако существуют некоторые замечательные с механической точки зрения случаи, когда моменты и произведения инерции сохраняются постоянными даже а по отношению к осям, движущимся относительно тела. Типичный пример этого мы имеем в случае тела, имеющего гироскопическую структуру относительно его неподвижной точки.
Если за ось z возьмем гироскопическую ось и за начало—точку О, то всякая пара осей Ox'у', взаимно перпендикулярных и перпендикулярных к z, определяет систему Ох!у'г главных осей инерции, относительно которых, как бы ни вращались эти оси вокруг Oz, будут постоянными (главные) моменты инерции A = B и Си останутся в силе соотношения между проекциями векторов К и <0
